Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

  1. Calcule o vetor campo magnético produzido por um longo fio condutor, de diâmetro desprezível, que repousa no eixo dos x de um sistema de coordenadas cartesianas, e que transporta uma corrente i sentido positivo do eixo dos x .
  2. Uma corrente i circula em uma espira formada por dois segmentos radiais e duas semicircunferências de raios a e b com um centro comum no ponto P (veja figura abaixo). Calcule o módulo e o sentido (para dentro ou para fora da página) do vetor campo magnético no ponto P .
  3. Calcule o módulo e o sentido do vetor momento magnético da espira

Passo 1

L e t r a   A :

Cara... Essa letra A não tem muito haver com a espira. Essa espira é mais para a letra B e letra C, ta legal?

Na letra A, queremos apenas calcular o módulo do campo magnético em todos os pontos do espaço feitos por uma corrente i sendo transportada por um fio longo repousando sobre o eixo x ...

Vamos usar para isso a Lei de Ampére, beleza?

Passo 2

Podemos e vamos usar aqui a Lei de Ampère, já que de acordo com ele...

∮ B →   d r → = μ 0 i

A Amperiana vai ser um circulo de raio r ao redor desse fio...

Pow, o campo magnético gerado por esse fio é sempre paralelo ao vetor tangente d r → ...

De modo que B →   d r → = B d r , então, pela Lei de Ampère...

∮ B →   d r → = μ 0 i   →

∮ B d r = μ 0 i

O campo B em cima dessa circunferência de raio r é sempre constante, de modo que podemos tira-lo da integral...

B ∮ d r = μ 0 i

A integral de d r é o comprimento da curva. Como no nosso caso é uma circunferência de raio r ...

B 2 π r = μ 0 i   →

B = μ 0 i 2 π r

Como é era de se esperar neh. Já que o fio é longo (indo para o infinito).

Passo 3

L e t r a   B :

Agora vai começar outra parte do exercício no qual a gente vai determinar o valor do campo elétrico no ponto P feito por essa espira...

Bem, como o ponto P está em cima da continuação dos segmentos retos, estes não vão interferir no campo magnético. Então, o módulo do campo magnético produzido nesse ponto B , vai ser a soma dos módulos produzidos por cada uma dessas semicircunferências...

B = B c i m a + B b a i x o

Onde B c i m a é o campo magnético produzido pela parte de cima da semicircunferência.

Cara, podemos resolver esse problema usando a Lei de Biot-Savart! Vamos nessa?

Passo 4

De acordo com Biot-Savart, podemos encontrar o campo elétrico através da fórmula...

B → c i m a = μ 0 i 4 π   ∫ d l → × r → b 2

Onde d l → é o vetor de direção da corrente e r → é o vetor de distância da corrente ao ponto onde se está medindo o campo elétrico (centro)...

Ora... O módulo do produto vetorial é...

d l → × r → = d l sin ⁡ ϕ

Onde ϕ é o ângulo entre o vetor d l → e r → que é ϕ = 90 ° . Só que pela regra ad mão direita, o sentido do produto vetorial d l → × r → é para dentro ( - z ^ )...

d l → × r → = - d l → × r →   z ^     →

d l → × r → = - d l sin ⁡ 90 °   z ^     →

Então...

d l → × r → = - d l   z ^

Ou seja, pela regra de Briot-Savart...

B → c i m a = - μ 0 i 4 π   ∫ d l   b 2   z ^   →

B → c i m a = - μ 0 i 4 π b 2   ∫ d l   z ^   →

Só que quem é a integral de d l ???

Passo 5

Ora... A integral de d l é o comprimento da curva de cima. No caso, a curva é uma semicircunferência de raio b . Então o seu comprimento será...

∫ d l = π b

Então...

B → c i m a = - μ 0 i 4 π b 2   ∫ d l   z ^   →

B → c i m a = - μ 0 i 4 π b 2   π b   z ^   →

B → c i m a = - μ 0 i 4 b   z ^  

Passo 6

E olha que massa... Para a circunferência de baixo, o campo magnético vai ser o mesmo, porém...

B → b a i x o = - μ 0 i 4 a   z ^  

Então, o campo magnético total no ponto P ...

B → = - μ 0 i 4 b   z ^ - μ 0 i 4 a   z ^   →

B → = - μ 0 i 4 b + μ 0 i 4 a z ^  

Onde o menos significa que o campo é para baixo (ou para dentro da sua telinha).

Passo 7

L e t r a   C :

O vetor momento magnético da espira tem módulo...

μ = i A

Onde A é a área da espira. O sentido do momento é então dado pela regra da mão direita, ou seja, também tem sentido entrando na sua telinha ( - z ^ )...

μ → = - i A   z ^  

Passo 8

Então basta calcular a área da espira...

Ora...

A = π b 2 2 + π a 2 2

Então, o vetor momento magnético será...

μ → = - i A   z ^     →

μ → = - i π b 2 2 + π a 2 2   z ^

Resposta

Letra A:

B = μ 0 i 2 π r

Letra B:

B → = - μ 0 i 4 b + μ 0 i 4 a z ^

Letra C:

μ → = - i π b 2 2 + π a 2 2   z ^

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