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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Um solenóide toroidal tem seção transversal quadrada, raio interno a , raio externo b e N voltas de um fio condutor fino enroladas de forma compacta em torno dele. Qual é a auto indutância deste solenóide?

  1. μ 0 N 2 b - a 2 π ln ⁡ b a
  2. μ 0 N 2 a 2 π ln ⁡ b a
  3. μ 0 N 2 b 2 π ln ⁡ b a
  4. μ 0 N 2 ( b - a ) 2 π
  5. μ 0 N 2 a 2 π
  6. μ 0 N 2 b 2 π

Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema olhando para a figura abaixo. Representamos apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas das espiras quadradas. Cada uma das N espiras quadradas transporta uma corrente I e as colocamos no sentido horário indicado na figura.

Por isso, pela regra da mão direita, o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página. Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área   d A → sempre paralela ao campo magnético B → , como ilustrado na figura. Colocamos também uma área infinitesimal d A = d r d z pela qual o campo passará.

A corrente em cada uma das N espiras atravessará uma área definida pelo contorno fechado C , que está a uma distância r do eixo Z . CUIDADO: agora estamos falando da área delimitada pelo contorno C e não de d A !! Repara que na figura mostramos apenas a metade dessa curva fechada C para facilitar o entendimento da questão, mas imagina essa curva C como um círculo de raio r .

Passo 2

Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (assim espero...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.

Primeiro, para obter a autoindutância L , vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância L de acordo com

Φ B = ∫ A B → . d A → = L I

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras quadradas do solenóide toroidal.

O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total Φ B do toróide e o igualamos a L I para tirar a expressão para L .

Para calcular o fluxo, precisamos do campo magnético produzido pela corrente nas N espiras. Então, vamos aplicar a lei de Ampère ao contorno fechado C .

Utilizando a figura acima, vemos que o campo está entrando no plano da página, é sempre paralelo ao elemento   d l → da curva C e tem o mesmo valor para todos os pontos de C , por isso podemos escrever o seguinte

  ∮ C B → . d l → = μ 0 I i n t e r i o r C ⇒ B . 2 π r = μ 0 N I  

onde I i n t e r i o r C = N I é a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada C . Então, obtemos o seguinte módulo para o campo magnético

B = μ 0 N I 2 π r

Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o elemento de área d A = d z   d r é sempre paralelo a B → e este tem mesmo valor em todos os pontos da curva C neste caso, temos que

Φ B = N ∫ B → . d A → = N B ∫ d A

Dá uma olhada lá na figura e veja que, neste sistema de coordenadas, o elemento infinitesimal de área atravessada pelo campo é d A = d r d z . Por isso, o fluxo total é

Φ B = N ∫ = N   μ 0 N I 2 π ∫ 0 L = b - a d z   ∫ a b d r r

Resolvendo a integral acima, obtemos que o fluxo magnético total através das N espiras é

Φ B = μ 0 N 2 I 2 π b - a ln ⁡ b a       = L I ⇒ L = μ 0 N 2 ( b - a ) 2 π ln ⁡ b a

que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância.

Resposta

Portanto, a resposta correta é a letra a) .

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