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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

A figura abaixo mostra duas espiras condutoras circulares, concêntricas e coplanares. A espira menor possui raio R 1 e transporta uma corrente estacionária de intensidade I 1 no sentido indicado, enquanto a espira maior possui raio R 2 e transporta uma corrente estacionária de intensidade I 2 no sentido oposto.

  1. Determine o campo magnético resultante produzido pelas duas espiras no centro delas.
  2. Suponha agora que R 1 ≪ R 2 , de forma que podemos considerar que o campo magnético produzido pela espira maior é constante em todos os pontos dentro da espira menor e tem o valor calculado no centro. Nessa situação, determine a indutância mútua entre este par de espiras.

Passo 1

a) O campo magnético gerado pela corrente I 2 em seu centro vale

B → 2 = μ 0 I 2 2 R 2   - z ^   ,

em que, pela regra da mão direita, o campo está entrando no plano da página e é perpendicular a ela.

Para a corrente I 1 , o campo será

B → 1 = μ 0 I 1 2 R 1   + z ^   ,

que está saindo do plano da página. Portanto, o campo magnético resultante no centro das espiras será dado por

B → R = B → 1 + B → 2 = μ 0 2 I 1 R 1 - I 2 R 2 z ^   .

Passo 2

b) Para calcularmos a indutância mútua, precisamos saber como é o fluxo do campo magnético  B → 2 através da área π R 1 2 da superfície da espira interna.

Como o problema diz que R 1 ≪ R 2 , isso significa que podemos considerar que o campo magnético  B → 2 tem praticamente o mesmo valor em todos os pontos da espira menor de raio R 1 . Essa informação é que nos permite colocar B 2 para fora da integral no cálculo do fluxo magnético que faremos abaixo...

Como  B → 2 está entrando no plano da página, podemos colocar o elemento de área apontando para dentro da superfície da espira interna. Portanto, isso vai dar o seguinte

Φ B 2 A 1 = ∫ S 1 B → 2 ⋅ d A → 1 = ∫ S 1 B 2 d A 1 = B 2 A 1 = μ 0 I 2 π R 1 2 2 R 2   .

Agora, aplicando a definição de indutância mútua M , teremos

M = Φ B 2 A 1 I 2 = μ 0 π R 1 2 2 R 2   .

Resposta

  1. B → R = B → 1 + B → 2 = μ 0 2 I 1 R 1 - I 2 R 2 z ^     ;
  2. M = Φ B 2 A 1 I 2 = μ 0 π R 1 2 2 R 2     .

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