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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Um solenoide longo de comprimento h e raio R R < < h tem um enrolamento com N espiras.

a ) Calcule a autoindutância do solenoide. Calcule a energia armazenada no solenoide quando pelo fio circula uma corrente I .

Dado: o campo magnético no interior do solenoide é B 0 = μ 0 N I / h . Ignore a variação do campo próximo às extremidades do solenoide.

b ) Repita os cálculos do item (a) para o caso em que o solenoide está preenchido com um material de suscetibilidade χ m .

Passo 1

a ) Calcule a autoindutância do solenoide. Calcule a energia armazenada no solenoide quando pelo fio circula uma corrente I .

Por definição, a autoindutância é dada por:

L = N ϕ B I

Como N e I são dados do problema, temos que calcular o fluxo magnético ϕ B através do solenoide.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Como o campo magnético é constante e uniforme no interior da espira, podemos simplificar a expressão acima para:

ϕ B = B 0 A

Onde B 0 é campo magnético no interior do solenoide (dado pelo problema) e A é a área da seção transversal da espira, A = π R 2 .

Substituindo essas expressões na expressão do fluxo magnético, teremos:

ϕ B = μ 0 N I h π R 2 = μ 0 N I π R 2 h

Passo 2

Finalmente, substituindo ϕ B na expressão de L , teremos:

L = N I μ 0 N I π R 2 h  

L = μ 0 N 2 π R 2 h

Passo 3

A energia armazenada no solenoide é dada por:

U m = L I 2 2

Substituindo a expressão de L que acabamos de calcular, teremos:

U m = μ 0 N 2 I 2 π R 2 2 h

Passo 4

b ) Repita os cálculos do item a para o caso em que o solenoide está preenchido com um material de suscetibilidade χ m .

Se o solenoide for preenchido por um material de suscetibilidade χ m , a permeabilidade magnética passará a ser:

μ = 1 + χ m μ 0

Substituindo essa nova permeabilidade magnética na expressão de L , teremos?

L ' = μ N 2 π R 2 h

L ' = 1 + χ m μ 0 N 2 π R 2 h

Da mesma forma, a energia armazenada no solenoide será:

U m ' = μ N 2 I 2 π R 2 2 h

U m ' = 1 + χ m μ 0 N 2 I 2 π R 2 2 h

Resposta

a )

L = μ 0 N 2 π R 2 h

U m = μ 0 N 2 I 2 π R 2 2 h

b )

L ' = 1 + χ m μ 0 N 2 π R 2 h

U m ' = 1 + χ m μ 0 N 2 I 2 π R 2 2 h

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