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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Uma bobina toroidal de raio interno R e seção reta quadrada de lado a , com a < < R , possui N espiras percorridas por uma corrente I .

a ) Calcule o vetor campo magnético no interior do toróide.

b ) Calcule a autoindutância da bobina supondo que o módulo do campo magnético seja aproximadamente constante dentro da bobina.

c ) Suponha que a bobina toroidal seja preenchida com um núcleo de um material magnético com permeabilidade magnética relativa K m ≡ μ / μ 0 = 500 . Calcule os novos valores do vetor campo magnético no seu interior e da autoindutância.

Passo 1

a ) Calcule o vetor campo magnético no interior do toróide.

Esse é um problema clássico de Lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Como queremos calcular o campo magnético no interior do toróide, a nossa amperiana será uma circunferência de raio r , centrada no eixo da bobina. Assim, podemos simplificar a Lei de Ampère para:

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r

Nesse caso, a corrente I i n t será I i n t = N I , logo:

B = μ 0 N I 2 π r

A julgar pelo sentido corrente I , o campo magnético está no sentido anti-horário, logo:

B → = μ 0 N I 2 π r ϕ ^

Passo 2

b ) Calcule a autoindutância da bobina supondo que o módulo do campo magnético seja aproximadamente constante dentro da bobina.

Por definição, a autoindutância de uma bobina é dada por:

L = N ϕ B I

Onde ϕ B é o fluxo magnético. Como o campo magnético é constante e uniforme, ϕ B será dado por:

ϕ B = B A = μ 0 N I 2 π r a 2

ϕ B = μ 0 N I a 2 2 π r

Onde a 2 é a área da seção transversal quadrada da bobina.

Portanto, a autoindutância será:

L = N I μ 0 N I a 2 2 π r

L = μ 0 N 2 a 2 2 π r

Passo 3

c ) Suponha que a bobina toroidal seja preenchida com um núcleo de um material magnético com permeabilidade magnética relativa K m ≡ μ / μ 0 = 500 . Calcule os novos valores do vetor campo magnético no seu interior e da autoindutância.

Quando o núcleo da bobina é preenchida com material magnético, de permeabilidade magnética μ = 500 μ 0 , para determinar o campo magnético, basta substituir μ 0 por μ na expressão que calculamos anteriormente:

B → = μ N I 2 π r ϕ ^

Logo:

B → = 500 μ 0 N I 2 π r ϕ ^

O mesmo vale para autoindutância:

L = μ N 2 a 2 2 π r

L = 500 μ 0 N 2 a 2 2 π r

Resposta

a )

B → = μ 0 N I 2 π r ϕ ^

b )

L = μ 0 N 2 a 2 2 π r

c )

B → = 500 μ 0 N I 2 π r ϕ ^

L = 500 μ 0 N 2 a 2 2 π r

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