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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Um circuito com resistência R , contido no plano x y , é constituído por dois arcos de circunferência com raios r 1 e r 2 e por dois segmentos retos. Este circuito envolve um solenoide muito longo, com eixo paralelo ao eixo z , n espiras por unidade de comprimento e raio r tal que 2 r < r 2 - r 1 , conforme a figura. Pelo solenoide passa uma corrente I S que flui no sentido anti-horário. I s cresce com o tempo com taxa β = d I S d t > 0 . Desprezando efeitos de borda, a intensidade do campo magnético no interior do solenoide é B = μ 0 n I S .

(a) (1,0 ponto) Calcule o fluxo do campo do solenoide através do circuito.

(b) (1,0 ponto) Calcule o coeficiente de mútua indutância entre o solenoide e o circuito.

(c) (1,0 ponto) Calcule o sentido (horário ou anti-horário) e a magnitude da corrente I induzida no circuito.

Passo 1

O fluxo do campo magnético pode ser calculado como:

Φ B = ∫ B → ∙ d A → .

Como a corrente I S flui no sentido anti-horário, pela regra da mão direita, o vetor B → pode ser escrito como B → = μ 0 n I S   k ^ . Como o vetor normal à superfície também está apontando na direção do eixo z , ou seja, k ^ , o produto escalar B → ∙ d A → = B   d A .

Passo 2

Assim sendo,

Φ B = ∫ B d A = B ∫ d A = B π r 2 ,

Φ B = μ 0 n I S π r 2 .

Passo 3

O coeficiente de mútua indutância entre o solenoide e o circuito, por definição, é dado por:

M = Φ B I S = μ 0 n π r 2 .

Passo 4

Vamos inicialmente determinar o sentido da corrente. Ele pode ser determinado pela lei de Lenz. Pensa comigo:

  1. Como o campo dentro do solenoide aumenta com o tempo, o fluxo magnético através do circuito também aumenta, certo?
  2. Assim sendo, a corrente induzida no circuito deve gerar um campo magnético que irá se opor a este aumento.
  3. Logo, a corrente induzida tem sentido horário.

Sacou? A ideia é sempre pensar que o sistema busca um equilíbrio!

Passo 5

Agora, utilizamos a lei de Faraday para encontrar a fem induzida.

E = - d Φ m d t = - μ 0 n π r 2 d I S d t ,

E = - μ 0 n π r 2 β ,

já que d I S d t = β .

Passo 6

A corrente induzida será dada, portanto, por:

I = E R = - μ 0 n β π r 2 R ,

onde R é a resistência do circuito.

Reparem que a corrente induzida I é negativa! Isso porque, no começo da questão, escolhemos o sentido anti-horário como o positivo. Ou seja, I possui sentido horário, concordando com a nossa análise pela lei de Lenz.

Resposta

(a) O fluxo do campo magnético é dado por:

Φ B = μ 0 n I S π r 2 .

(b) O coeficiente de indução mútua é dado por:

M = Φ B I S = μ 0 n π r 2 .

(c) O sentido da corrente I é horário e sua magnitude é dada por:

I = μ 0 n β π r 2 R .

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