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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Uma espira condutora retangular de lados 2 a e 2 b é posicionada no mesmo plano que um par de fios condutores finos, retilíneos, infinitos e paralelos, como mostrado na figura abaixo. Os fios transportam correntes estacionárias de mesma intensidade I e sentidos opostos e estão separados por uma distância 2 d , como indicado. O centro da espira está equidistante dos fios e os lados de comprimento 2 b são paralelos a eles. Determine a indutância mútua entre a espira e o par de fios.

Passo 1

Sabemos que cada fio produz um campo magnético com módulo dado por:

B s = μ I 2 π s ,

onde s é a distância entre um fio e o ponto considerado. Utilizando a regra da mão direita, vemos que ambos os fios produzem campos que apontam no mesmo sentido ao longo da espira: para fora do plano do papel.

Como o centro da espira está equidistante dos fios, dois de seus lados são paralelos a eles e a corrente que atravessa cada fio tem a mesma intensidade, por simetria, o fluxo de campo magnético produzido por cada fio através da espira deve ser o mesmo. Assim sendo, o fluxo total é o dobro do fluxo produzido por um fio.

Passo 2

Vamos considerar o fio à esquerda da espira. Consideramos uma tira de área infinitesimal de comprimento 2 b e largura d s , como mostrado na figura abaixo. Esse elemento está a uma distância s do fio. O fluxo produzido pelo fio através da tirinha será:

d ϕ B = B → ⋅ d A → = μ 0 I 2 π s   2 b   d s .

Aqui, escolhemos o vetor normal ao plano da espira no mesmo sentido de B → .

O fluxo através da espira (considerando apenas o fio da esquerda!) será:

ϕ B = ∫ d ϕ B = ∫ d - a d + a μ 0 I 2 π s 2 b   d s ,

ϕ B = μ 0 I b π ln ⁡ d + a d - a .

Considerando, agora, os dois fios, o fluxo total de campo magnético através da espira será:

ϕ B t o t = 2 ϕ B = 2 μ 0 I b π ln ⁡ d + a d - a .

Passo 3

Por fim, utilizamos a definição de indutância mútua M para obter a indutância mútua entre o par de fios e a espira:

ϕ B t o t = M I → M = ϕ B t o t I ,

M = 2 μ 0 b π ln ⁡ d + a d - a .

Resposta

M = 2 μ 0 b π ln ⁡ d + a d - a .

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