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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Considere um solenoide ideal de raio R s o l e uma espira circular de raio R e s p coaxial a ele, e suponha que R e s p > R s o l (ou seja, a espira está fora do solenoide).

Pelo solenoide passa uma corrente não-estacionária I t . Denotando a indutância mútua do sistema por M , as autoindutâncias do solenoide e da espira por L s o l e L e s p , e o campo produzido pelo solenoide em seu exterior por B e x t , qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a L e s p = 0 pois B e x t = 0 .

b M depende de I t .

c M = 0 pois B e x t = 0 .

d L s o l depende de I t .

e M depende de R s o l .

f L e s p depende de R s o l .

Passo 1

Bom, todas as opções trabalham com M , ou L e s p , ou L s o l ... então vamos calcular cada um desses caras, beleza?

  • M

A indutância mútua desse sistema será dada por:

M = N s o l ϕ s o l I e s p = N e s p ϕ e s p I s o l

Como as áreas tanto solenoide, quando da espira, são constantes, os fluxos magnéticos vão depender somente dos campos magnéticos.

Logo:

M = N s o l B s o l π R s o l 2 I e s p = N e s p B e s p π R e s p 2 I s o l

Lembrando que, como o solenoide induz corrente na espira e vice-versa:

B s o l ∝ I e s p   ( B s o l   é   p r o p o r c i o n a l   a   I e s p )

B e s p ∝ I s o l   ( B e s p   é   p r o p o r c i o n a l   a   I s o l )

Esse tipo de análise nos faz ganhar tempo na resolução dessa questão, pois podemos reescrever a seguinte relação para M :

M ∝ N s o l I e s p π R s o l 2 I e s p ∝ N e s p I s o l π R e s p 2 I s o l

Ou seja,

M ∝ N s o l π R s o l 2     o u       M ∝ N e s p π R e s p 2

Assim, das relações acima, percebemos que M vai depender de R s o l .

Logo, a resposta certa é a letra e . Viu como ganhamos tempo nesse tipo de análise?

Mas, por via das dúvidas, vamos dar uma olhada nas autoindutâncias, ok?

Passo 2

A autoindutância do solenoide é dada por:

L s o l = N s o l ϕ s o l I s o l

Como a área do solenoide é constante e o campo em seu interior é uniforme, podemos reescrever a expressão acima como:

L s o l = N s o l B s o l π R s o l 2 I s o l

Se lembrarmos que, para a autoindutância, B s o l ∝ I s o l , novamente, temos

L s o l ∝ N s o l π R s o l 2

Ou seja, a corrente I s o l vai sumir da expressão, logo, L s o l não depende de I t .

Passo 3

Seguindo o mesmo raciocínio para a autoindutância da espira, teremos:

L e s p = N e s p B e s p π R e s p 2 I e s p

Logo, L e s p não depende de R s o l .

Resposta

e M depende de R s o l .

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