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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Parte I :

Considere um solenóide ideal de N espiras, raio R e comprimento H ≫ R transportando uma corrente I no sentido indicado pela figura abaixo. O campo magnético em seu interior é dado por   B → = μ 0 N I H z ^ .

  1. Determine a auto-indutância do solenóide.
  2. Considere, agora, que a corrente elétrica seja variável no tempo I t = a t , sendo a > 0 uma constante. Determine o vetor campo elétrico induzido nas regiões r < R (dentro do solenóide) e r > R (fora do solenóide).

Passo 1

a) Antes de começar, precisamos nos lembrar que a definição de auto-indutância L é

L = Φ B I   ,

ou seja, é definida como o fluxo por unidade de corrente indutora.

Bom, uma vez que recordamos disso, precisamos calcular o fluxo do campo magnético através das N espiras do solenóide. O campo magnético, como é dado no enunciado, tem a direção e sentido do eixo positivo z e tem o mesmo valor em todos os pontos dentro do solenóide, por isso,   B → é uniforme dentro do solenóide. Fora do solenóide (ideal!), B → = 0 .

Para calcular o fluxo, precisamos também definir um vetor área  A   →   orientado. Vamos escolher esse vetor paralelo ao vetor   B → , como desenhamos na figura abaixo.

Bom, colocando isso dentro da expressão para o fluxo magnético, que é N vezes o fluxo através de uma única espira = ∫ S B → ⋅ d A → , teremos

Φ B = N ∫ S B → ⋅ d A → = N ∫ S B d A = μ 0 N 2 I H   ∫ S d A = μ 0 N 2 I H   π R 2   .

Portanto, a auto-indutância tem valor

L = Φ B I = μ 0 N 2 π R 2 H   .

Repara, nessa expressão, que a auto-indutância não depende da corrente I que passa nas espiras e é diretamente proporcional N 2 e à área de π R 2 de cada espira.

Passo 2

b) Como a corrente I ( t ) = a t   ( a > 0 ) agora depende do tempo, o campo magnético que ela produz dentro do solenóide também dependerá do tempo. Isso significa, de acordo com o grande Maxwell, que haverá um campo elétrico E induzido em r < R . Da mesma maneira do que no caso anterior, o campo fora para r > R é nulo.

Portanto, para este item, vamos precisar da lei de Faraday escrita da seguinte maneira:

E = ∮ C E → ⋅ d l → = - d Φ B t d t = - d d t   ∫ S B → ⋅ d A →   .

Para r < R :

Vamos considerar como nossa curva fechada um círculo C de raio r , como na figura abaixo.

Como estamos considerando um solenóide ideal, ou seja, um solenóide com H ≫ R , então temos um solenóide bastante longo na direção do eixo z . Nesse caso, se a gente pegar esse solenóide e girá-lo em torno do eixo z , o solenóide continua o mesmo, o que acontece também quando o transladamos ao longo desse mesmo eixo z . Ou seja, temos um problema que tem simetria cilíndrica.

Isso significa que o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos da curva fechada C , portanto,  E → só pode depender de r , não tendo nenhuma componente ao longo de z e nem componente ao longo da direção radial.

Passo 3

b) Continuação...

Para r < R :

Por isso, como mostrado na figura acima, o vetor campo elétrico deve ser:

E → = E r   φ ^   .

Tendo  E → com essas características, vamos tomar o elemento da curva fechada C como  d l → = d l   φ ^ , ou seja, na mesma direção e sentido de E → . Colocando isso no lado esquerdo da lei de Faraday, teremos

E = ∮ S E → ⋅ d l → = ∮ S E ( r ) d l = E r 2 π r   .  

Agora, vamos olhar para o lado direito dessa lei, em que a gente tem o fluxo do campo magnético. Como o campo é uniforme dentro do solenóide (ideal!!) e também dependo do tempo, o fluxo é:

- d d t   ∫ S B → ⋅ d A → = - N d d t ∫ S B t d A = - d d t B t ∫ S d A = - d d t B t π r 2   ,

em que π r 2 é a área do círculo fechado da figura. É IMPORTANTE ficarmos ligados aqui, porque na expressão para o fluxo magnético da expressão anterior, só precisamos tomar o fluxo através da área π r 2 , sem precisar multiplicar por N , como fizemos para calcular o fluxo total do solenóide todo do item a. FICA LIGADO NISSO, OK?

Sabendo que o campo magnético neste caso é dado por

B t = μ 0 N I t H = μ 0 N a t H   ,

temos, já igualando os dois lados da lei de Faraday

E = E r 2 π r = - μ 0 N H d d t a t π r 2 ⇒ E r = - μ 0 N a 2 H r   ,

que dá um vetor campo elétrico

E → = E r   φ ^ = - μ 0 N a 2 H   r φ ^   .

No próximo passo, veremos como fica o campo elétrico para r > R .

Passo 4

b) Continuação...

Para r > R :

Para esse caso, ainda continuam valendo as características do campo elétrico que tiramos da simetria cilíndrica do problema, ou seja,   E → = E r   φ ^ . Portanto, podemos também usar   d l → = d l     φ ^ . Então, o lado esquerdo da lei de Faraday continua sendo: E ( r ) ( 2 π r ) . Vamos ver agora como fica o lado direito, que tem a taxa temporal de variação do fluxo magnético.

Para essa região, como mostra a figura abaixo, como o campo magnético é zero para r > R , o fluxo magnético do campo total será através da área π R 2 .

Com isso,

E r 2 π r = - d d t B t π R 2 = - μ 0 N π R 2 H d d t a t .

Simplificando,  E → é

E → = E r   φ ^ = - μ 0 N R 2 a 2 H r   φ ^   .

Repara que, embora não haja campo magnético para r > R , existe campo elétrico porque o campo magnético em r < R está variando com o tempo! ISSO É MUITO IMPORTANTE...

Resposta

a)

L = Φ B I = μ 0 N 2 π R 2 H

b)

r < R :   E → = E r   φ ^ = - μ 0 N a 2 H   r φ ^   ;

r > R :   E → = E r   φ ^ = - μ 0 N a R 2 2 H r   φ ^   .  

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