Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

UNICAMP – Física III – Prova 3 – 2012.1 – Manhã – Questão nº1.

Dois fios longos e paralelos, cada um de raio a , cujos centros estão separados por uma distância d , são percorridos por corrente iguais i , mas de sentidos opostos, conforme a figura.

Calcule:

  1. O módulo, a direção e o sentido do campo magnético B → , no ponto P , devido aos fios.
  2. O fluxo magnético através de um retângulo formado pelas linhas tracejadas e os dois lados externos dos fios. Considere um comprimento l e despreze o fluxo dentro dos fios.
  3. A indutância L para este par de fios.

Passo 1

  1. O módulo, a direção e o sentido do campo magnético B → , no ponto P , devido aos fios.
  2. O campo magnético gerado por um fio pode ser calculado facilmente através da lei de Ampère:

    ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

    Nesse caso, a nossa curva C é uma circunferência que de raio r , que é a distância entre o fio e o ponto que queremos calcular o campo magnético.

    Assim, o campo magnético é, resumindo a fórmula, igual a:

    B = μ 0 I i n t 2 π r

    Vamos calcular o campo magnético de cada fio, separadamente.

  • Fio da esquerda:
  • Para este fio, a corrente interna será i e ele se encontra a uma distância x do ponto P , logo:

    B e = μ 0 i 2 π x

    Através da regra da mão direita, vemos que o campo magnético gerado por esse fio vai estar entrando na página.

  • Fio da direita:

Nesse fio passa a mesma corrente i , mas ele está a uma distância d - x do ponto P . Portanto:

B d = μ 0 i 2 π d - x

Novamente, pela regra da mão direita, o campo magnético gerado por esse fio estará entrando na página.

Como acabamos de ver, os dois fios geram campos magnéticos que “entram na página” no ponto P . Portanto, o campo magnético resultante será:

B = B e + B d

B = μ 0 i 2 π 1 d - x + 1 x

B = μ 0 i d 2 π x d - x

Onde B → apontando para dentro da página.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • O fluxo magnético através de um retângulo formado pelas linhas tracejadas e os dois lados externos dos fios. Considere um comprimento l e despreze o fluxo dentro dos fios.
  • Por definição, o fluxo magnético é dado por:

    ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

    Podemos dizer que d A = l d x e, substituindo a expressão do campo magnético que encontramos no passo 1, teremos:

    ϕ B = μ 0 i l 2 π ∫ a d - a 1 d - x + 1 x d x

    Como o problema nos disse para desprezar o fluxo dentro dos fios, x vai variar entre a e d - a . Continuando...

    ϕ B = μ 0 i l 2 π - ln ⁡ d - x + ln ⁡ x a d - a

    ϕ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ x d - x a d - a

    ϕ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ d - a a - ln ⁡ a d - a

    ϕ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ d - a 2 a 2

    Passo 3

  • A indutância L para este par de fios.
  • Por definição, a indutância é dada por:

    L = N ϕ B i

    Esse par de fios funciona como uma espira única. Portanto, N = 1 .

    L = ϕ B i

    L = μ 0 l 2 π ln ⁡ d - a 2 a 2

    Resposta

    a.

    B = μ 0 i d 2 π x d - x

    Apontando para dentro do plano da página.

    b.

    ϕ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ d - a 2 a 2

    c.

    L = μ 0 l 2 π ln ⁡ d - a 2 a 2

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