Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

PUC-RJ - Cálculo B - P3 2013.1 - 1ª

Calcule a integral:

1 2 x x 2 - 1 d x

Passo 1

Nesse tipo de questão, temos que estar muito atentos, porque às vezes passa despercebido que aquela função ali dentro da integral tem uma descontinuidade infinita em x = 1 .

lim x 1 x x 2 - 1 1 1 2 - 1 = 1 0

Portanto, esse é um daqueles casos de integral imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no intervalo de integração dado. Repara que, nesse caso, a descontinuidade está em x = 1 , que é a extremidade do intervalo [ 1,2 ] .

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Passo 2

No caso em que a descontinuidade está no limite inferior de integração, substituímos esse limite por r e calculamos o limite quando r tende a esse valor pela direita:

1 2 x x 2 - 1 d x = lim r 1 + r 2 x x 2 - 1 d x

Para resolver, achamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

x x 2 - 1 d x

Nesse caso, essa integral sai poruma substituição simples:

u = x 2 - 1   d u = 2 x   d x  

      x   d x = d u 2

Substituindo na expressão, vamos ter:

d u 2 u = 1 2   u - 1 2 d u = 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C

u + C

Voltando para x :

x x 2 - 1 d x = x 2 - 1 + C  

Passo 3

Passo 4

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:

r 2 x x 2 - 1 d x =   2 2 - 1 -   r 2 - 1 = 3 -   r 2 - 1

Voltando ao limite da integral imprópria:

lim r 1 + r 2 x x 2 - 1 d x = l i m r 1 + 3 -   r 2 - 1 = 3 - 0 = 3

Como o limite existe, a integral é convergente.

Resposta

1 2 x x 2 - 1 d x = 3

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