Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 1 2 x x 2 - 1 d x

Passo 1

E esse é mais um caso de uma integral IMPRÓPRIA! Pois repare que a expressão a ser integrada NÃO está definida pra x = 1 . Então devemos escrever:

∫ 1 2 x x 2 - 1 d x = lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 x x 2 - 1 d x

Passo 2

E pra resolver a integral indefinida:

∫ x x 2 - 1 d x

Vamos escolher a substituição u = x 2 - 1 , e então: d u = 2 x   d x   →       x   d x = d u 2

Substituindo na expressão, vamos ter:

∫ d u 2 u = u + C = x 2 - 1 + C

Passo 3

Voltando ao limite da integral imprópria:

lim t → 1 + ⁡ 2 2 - 1 - t 2 - 1 = 3 - 0 = 3

Resposta

∫ 1 2 x x 2 - 1 d x = 3

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