Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Passo 1

Vamos começar tentando entender a região de integração. Sem esboçar da pra imaginar que os limites de z vão vir dos planos z = 0 e z = x + y e que os limites de x e y vão vir de y = x 2 e x = y 2 .

Então teríamos

0 ≤ z ≤ x + y

E os limites de x e y vem do esboço no 2 D aqui embaixo

Dando um zoom na região de interesse, podemos fazer a definição tanto pelo T i p o   I quanto pelo T i p o   I I , vou fazer aqui pelo primeiro mas dá no mesmo

Percebe que a seta sempre entra na curva vermelha y = x 2 e sempre sai em y = x ,tudo isso no intervalo de x entre 0 e 1 , logo

x 2 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ 1

Se você quiser saber, o esboço do gráfico 3 D é esse aqui, mas percebeu que não precisa dele né?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que a gente já definiu a região de integração, é só colocar na integral tripla do enunciado

∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y x y d z d y d x

Passo 3

Integrando em z

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y z z = 0 z = x + y d y d x

= ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y x + y d y d x

= ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 y + x y 2 d y d x

Integrando em y

∫ 0 1 x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x d x

= ∫ 0 1 x 2 x - x 4 2 + x x x - x 6 3 d x

Essa conta é trabalhosa mesmo, faz com bastante calma tá bem?

= ∫ 0 1 x 3 2 - x 6 2 + x 2 x ⏞ x 5 / 2 3 - x 7 3 d x

Integrando isso aí em x

= x 4 8 - x 7 14 + 2 x 7 / 2 21 - x 8 24

= 1 8 - 1 14 + 2 21 - 1 24

Fazendo o MMC

= 21 - 12 + 16 - 7 168

= 18 168 = 3 28

Resposta

3 28

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