Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule a integral tripla da função f ( x , y , z ) = y , sobre o tetraedro do 1º octante, delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular a nossa querida integral tripla dada, para isso eu lhe convido a visualizar a nossa integral tripla por meio do gráfico gerado pelo GeoGebra3D.

O que temos então é, os planos azuis são os planos coordenados e o plano vermelho é o plano x + y + z = 1 .

Passo 2

O que precisamos fazer agora é encontrar os limites de integração. Para x = y = 0

z = 1

Para x = z = 0

y = 1

Para z = y = 0

x = 1

Esses são os limites de integração superiores, é até onde vão as nossas variáveis de integração, e elas iniciam em 0 pois estamos limitados pelos eixos coordenados aqui. Agora iremos montar e calcular nossa integral.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - y y d z d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 y 1 - x - y d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 y - x y - y 2 d x d y

∫ 0 1 y x - x 2 2 y - y 2 x ​ 0 1 d y

∫ 0 1 ( y - 1 2 y - y 2 ) d y

y 2 2 - 1 2 ∙ y 2 2 - y 3 3 ​ 0 1

= - 1 12

Resposta

= - 1 12

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