Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule

∫ ∫ ∫ D x d x d y d z , onde D é limitada pelo parabolóide x   =   4 y 2   +   4 z 2

e pelo plano x   =   4 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ D x d x d y d z , onde D é limitada pelo parabolóide x   =   4 y 2   +   4 z 2

e pelo plano x   =   4 .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região D . limitada pelo parabolóide x   =   4 y 2   +   4 z 2 e pelo plano x   =   4 .

temos que

4 y 2   +   4 z 2 ≤ x   ≤ 4

e olhando a projeção no plano y z do parabolóide, temos:

0 ≤ 4 y 2   +   4 z 2 ≤ 4

⇒ - 1 - z 2 < y < 1 - z 2

e

- 1 ≤ z ≤ 1

Agora podemos montar nossa integral. Temos:

∫ ∫ ∫ D x d x d y d z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2   ∫ 4 y 2 + 4 z 2 4 x d x d y d z

integrando em x

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2   1 - z 2     8 - ( 4 y 2 + 4 z 2 ) 2 / 2   d y d z

fazendo y = r c o s ( u )   e   z = r s i n ( u )

∫ 0 1 ∫ 0   2 π     ( 8 - ( 4 r 2 ) 2 / 2 ) r d u d r

= ∫ 0 1 ∫ 0   2 π     ( 8 r - 8 r 5 ) d u d r

integrando em u

= ∫ 0 1 2 π ( 8 r - 8 r 5 ) d r

para finalizar. Integrando em r

= 8 π r 2 - 16 π r 6 / 6   | r = 1 r = 0

= 16 π / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

16 π / 3

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