Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

c ) ∭ R y d v onde R é a região delimitada pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0   e   2 x + 2 y + z = 4

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão bem padrão de integração tripla. Ele não deu a integral bonitinha portanto precisamos montar para após isso resolver.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Amigão para resolver um problemão desses precisamos primeiramente montar a região de integração.

Eu sei, eu sei, desenhar essas superfícies 3D é o pipoco do trovão de chato.

Mass nessa aqui a gente não precisa disso tudo, belezinha? Tem um macete.

Geralmente eu tento resolver assim, primeiramente vamos desenhar o domínio da superfície no plano ( x , y ) belezinha?

Como faz isso? Bem, fazendo z = 0 nas equações e vendo o que sobra delas, o z só existe naquele plano ali. Então temos a seguinte equação:

2 x + 2 y = 4   = > x + y = 2

Então no plano x , y tua função é algo do tipo:

E como a questão diz que está restrita aos planos x = y = z = 0 , então a superfície está no primeiro octante e para finalizar temos que as variáveis estão variando entre:

z = [ 0 ,   4 - 2 x - 2 y ]

x = [ 0 ,   2 ]

y = [ 0.2 - x ]

Logo temos que nossa integral é igual a:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 4 - 2 x - 2 y y   d z d y d x

Passo 3

Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.

Primeiro resolvendo da integral mais interna:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x z y 4 - 2 x - 2 y 0   d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x y ( 4 - 2 x - 2 y )   d y d x

Utilizando a distributiva, temos que:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x y 4 - 2 x - 2 y d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 4 y - 2 x y - 2 y 2 d y d x

Agora integrando o d y :

∫ 0 2 [ 4 2 y 2 - 2 x y 2 2 - 2 3 y 3 ] 2 - x 0     d x

Aplicando os limites de integração, temos que:

∫ 0 2 [ 4 2 y 2 - 2 x y 2 2 - 2 3 y 3 ] 2 - x 0     d x = ∫ 0 2 1 - x 2 - x 2 - 2 - x 3 6   d x

Realizando as formulas dos quadrados e cubos perfeitos temos que a integral se torna:

∫ 0 2 1 - x 2 - x 2 - 2 - x 3 6   d x = ∫ 0 2 8 3 - 6 x + 4 x - 5 6 x 3   d x

Logo temos que a integral vale:

∫ 0 2 8 3 - 6 x + 4 x - 5 6 x 3   d x = 2 3

Resposta

∫ 0 2 8 3 - 6 x + 4 x - 5 6 x 3   d x = 2 3

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
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Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x