Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Faça um esboço do solido cujo o volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais.

a )   ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 s e n ( φ ) d ρ d θ d φ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho?

Nessa questão temos que calcular a seguinte integral tripla:

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Mas não é só isso... também precisamos desenhar o sólido que possui o volume calculado através dessa integral. Como podemos fazer isso?

Bem pessoas, essa é uma questão quase padrão de integração tripla. Ele deu a integral bonitinha, mas precisamos montar a superfície, dessa vez não tem como fugir, portanto, precisamos montar para após isso resolver.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Amigão para resolver isso aqui primeiramente vamos precisar identificar uma coisa, os eixos estão em coordenadas não cartesianas. Isso indica que possivelmente esse solido está em coordenadas esféricas e isso é mais indicado ainda porque ρ 2 s e n φ e a jacobiana das coordenadas esféricas.

  • Analisando o nosso problema temos que teta varia de 0 até π 2   . Logo, temos que o nosso domínio polar é 1 4 de uma circunferência.
  • Analisando o nosso problema novamente temos que φ varia de 0 até π 6   . Logo, temos que o nosso ângulo azimutal é uma parábola.
  • E para finalizar temos que o ρ vai de 0 até 3.

Juntando essas informações, isso tudo indica que nós temos uma espécie de um tronco de esfera, ou seja, algo assim:

Passo 3

Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.

Primeiro resolvendo da integral mais interna:

s e n ( φ )

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 s e n ( φ ) d ρ d θ d φ = ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ρ 3   3   3 0   d θ d φ = 9 ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 s e n ( φ ) d θ d φ

Vemos que nosso problema não depende da variável θ nos domínios de integração e nem no integrando, então podemos resolver ela logo e deixar da seguinte forma:

9 π 2 ∫ 0 π 6 s e n ( φ ) d θ = 9 π 4 ( 2 - 3 )

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 s e n ( φ ) d ρ d θ d φ = 9 π 4 ( 2 - 3 )

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