Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ T x 2   d V

Onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 )

Passo 1

Fala aí, galera! Vamos começar essa questão de integral tripla, conhecendo nosso problema. O enunciado nos pediu para fazer a integral tripla:

∭ T x 2   d V

Mas como ele não nos informou diretamente os limites de integração, então vamos estudar esse volume T apresentado:

T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 )

Colocando isso em forma de gráfico, temos:

Precisamos achar o plano que passa pelos três pontos que não são a origem, para isso, podemos fazer o seguinte, a fórmula do plano é

a x + b y + c z = d

Quando x = 0 e y = 0 , o valor de z = 1 . Se substituirmos na fórmula:

a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c ⋅ 1 = d

Descobrimos que:

c = d

d = c

Quando y = 0 e z = 0 , o valor de x = 1 . Se substituirmos na fórmula do plano:

a ⋅ 1 + b ⋅ 0 + c ⋅ 0 = d

Então:

a = d

E por fim, quando x = 0 e z = 0 , o valor de y = 1 , então:

a ⋅ 0 + b ⋅ 1 + c ⋅ 0 = d

Logo o valor de b é:

b = d

Então temos

a = b = c = d

Na fórmula do plano, podemos colocar quanquer valor, então para

a = 1

Logo, a fórmula do plano se torna:

a x + b y + c z = d → x + y + z = 1

Isolando z , temos

z = 1 - x - y

Então podemos colocar a variação de z como

0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Passo 2

Agora no plano temos que a área é limitada por x = 0 , y = 0 e a reta que passa por 1,0 e ( 0,1 ) .

Vamos relembrar a equação da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Esse valor m é a inclinação da reta, que podemos calcular pelos valores de início ( x 0 , y 0 ) e final da reta ( x 1 , y 1 ) :

x 0 , y 0 = ( 1,0 ) x 1 , y 1 = 0,1 → x 0 = 1 x 1 = 0 y 0 = 0 y 1 = 1

Substituindo os valores, descobrimos que a reta tem inclinação:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 1 - 0 0 - 1 = - 1

Substituindo os valores na equação da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Ficamos com:

y - 0 = - 1 ( x - 1 )

y = - x + 1

Podemos então reescrever o valor de y como:

  0 ≤ y ≤ 1 - x

E como em nosso gráfico já vimos que o valor de x varia dentro do intervalo de 0 até 1 , temos:

0 ≤ x ≤ 1

Reunindo todas as informações de intervalos:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 - x 0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Determinamos os intervalos de integração da integral tripla:

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x 2   d z d y d x

Presta bem atenção na ordem de integração, como o valor de z depende de x e de y , então vamos fazer a integração dele primeiro, depois como o valor de y varia com o valor de x vamos fazer a integração dele e por último, vamos integrar o valor de x que tem os limites de integração como valores numéricos!

Show de bola? Então vamos começar as integrações!

Passo 3

Como já falamos antes, vamos começar pela integral em relação a z :

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x 2   d z d y d x

Como não temos o valor de z dentro da expressão:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x 2   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2   z 0 1 - x - y d y d x

Aplicando os limites de integração:

z 0 1 - x - y = 1 - x - y - 0 = 1 - x - y

Voltando a nossa integral:

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 ⋅   ( 1 - x - y ) d y d x

Aplicando a propriedade da distributiva, ficamos com:

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 - x 3 - x 2 y d y d x

Passo 4

Agora calculando a integral dupla:

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 - x 3 - x 2 y d y d x

Vamos integrar em relação a y :

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 x 2 y - x 3 y - x 2 y 2 2 0 1 - x d x

Aplicando os valores do intervalo de integração:

x 2 y - x 3 y - x 2 y 2 2 0 1 - x = x 2 ⋅ 1 - x - x 3 ⋅ 1 - x - x 2 ⋅ 1 - x 2 2 - x 2 ⋅ 0 - x 3 ⋅ 0 - x 2 ⋅ 0 2 2

x 2 y - x 3 y - x 2 y 2 2 0 1 - x = x 2 - x 3 - x 3 + x 4 - x 2 ⋅ 1 - 2 x + x 2 2

x 2 y - x 3 y - x 2 y 2 2 0 1 - x = x 2 - 2 x 3 + x 4 - x 2 2 + x 3 - x 4 2

Voltamos essa expressão para integral:

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 - x 2 2 + x 3 - x 4 2 d x

∭ T x 2   d V = ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x = x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

Fazendo a substituição dos limites de integração:

∭ T x 2   d V = x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1 = 1 3 6 - 1 4 4 + 1 5 10 - 0 3 6 - 0 4 4 + 0 5 10

Simplificando:

∭ T x 2   d V = 1 6 - 1 4 + 1 10

Temos o resultado da integral tripla:

∭ T x 2   d V = 10 - 15 + 6 60 = 1 60

∭ T x 2   d V = 1 60

Resposta

1 60

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