Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Seja E o tetraetro sólido com vértices 1,1 , 1 ,   2,1 , 1 ,   1,2 , 1 ,   1,1 , 3 .

  1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos 2,1 , 1 , 1,2 , 1 , 1,1 , 3 .
  2. Calcule a integral tripla ∭ E   x   d V

Passo 1

Fala povo, tudo bem? Olha só a macete bacana: 3 pontos definem um plano. Ok, ok, mas e daí? Bem, sabe o que também da pra fazer com 3 pontos? Duas retas! Sendo assim, podemos dar nome aos bois:

P = 2,1 , 1

Q = 1,2 , 1

R = 1,1 , 3

Basta montarmos vetores com esses pontos de forma que um desses pontos seja comum aos dois vetores. Escolhendo P como ponto em comum, temos:

P Q → = Q - P = 1,2 , 1 - 2,1 , 1 = - 1,1 , 0

P R → = R - P = 1,1 , 3 - 2,1 , 1 = - 1,0 , 2

Como que isso ajuda em algo, você deve estar se perguntando. Bem, lembre-se que a equação geral de um plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto pertencente ao plano e a , b , c é a direção do vetor normal ao plano. Galera, ai que entra o pulo do gato! Se P Q → e P R → são coplanares, então um vetor perpendicular a eles será normal ao plano! Pra achar esse vetor, fazemos o produto vetorial:

P Q → × P R → = i j k - 1 1 0 - 1 0 2

Calculando essa determinante, temos:

P Q → × P R → = 2 1 i + 0 - 1 j + 0 - 1 k - 0 0 i + - 1 2 j + - 1 1 k

P Q → × P R → = 2 i + 2 j + k

P Q → × P R → = 2 , 2 , 1

Usando o ponto P = 2,1 , 1 e as direções do vetor 2,2 , 1 , chegamos na seguinte equação do plano:

2 ∙ x - 2 + 2 ∙ y - 1 + 1 ∙ z - 1 = 0

O que é o mesmo que:

2 x + 2 y + z = 7

Passo 2

Show, pra fechar essa questão, vamos calcular ∭ E   x   d V sabendo que E é um tetraedro cheio de pontinhos. Pegando todos os pontos do enunciado, podemos esboçar esse tetraedro:

Se juntarmos essa imagem com a do plano, vemos que uma das fazes do tetraedro está inteiramente contida no plano:

O que mostra pra gente que o nosso limite de integração de z deve ser:

1 < z < P l a n o

Isolando z na equação do plano, temos:

2 x + 2 y + z = 7

z = 7 - 2 x - 2 y

Logo:

1 < z < 7 - 2 x - 2 y

Já os limites de integração de x , y a gente tira olhando a base do tetraedro do plano x , y :

Onde a reta y = - x + 4 pode ser obtida fazendo um sistema de equações que inclua os pontos 1,2 e 2 , 1 :

y = a x + b

1 = 2 a + b 2 = 1 a + b

Equação 1 menos equação 2 resulta em:

a = - 1

Jogando esse valor de a em qualquer uma das duas equações, encontramos b = 3 . Sendo assim, pelo desenho, concluímos que:

1 < x < 2

1 < y < - x + 3

E a integral fica:

∭ E   x   d V = ∫ 1 2 ∫ 1 - x + 3 ∫ 0 7 - 2 x - 2 y x   d z   d y   d z

∭ E   x   d V = ∫ 1 2 ∫ 1 - x + 3 ∫ 1 7 - 2 x - 2 y x   d z   d y   d x

Passo 3

Bora fechar essa questão e partir pro abraço! Agora é só integrar! Pra começar, vamos fazer a integral mais interna:

∫ 1 7 - 2 x - 2 y x   d z

Pra ela, x nada mais é do que uma constante! Logo:

∫ 1 7 - 2 x - 2 y x   d z = x ∙ z z = 1 z = 7 - 2 x - 2 y = x ∙ 6 - 2 x - 2 y

∫ 1 7 - 2 x - 2 y x   d z = 6 x - 2 x 2 - 2 x y

A integral tripla vira então uma integral dupla:

∭ E   x   d V = ∫ 1 2 ∫ 1 - x + 3 ∫ 1 7 - 2 x - 2 y x   d z   d y   d x

∭ E   x   d V = ∫ 1 2 ∫ 1 - x + 3 6 x - 2 x 2 - 2 x y   d y   d x

Novamente, a gente pega a integral mais interna, que é em função de y . Podemos ainda, pra enrolar menos, separar ela em três:

∫ 1 - x + 3 6 x - 2 x 2 - 2 x y   d y = ∫ 1 - x + 3 6 x   d y - ∫ 1 - x + 3 2 x 2   d y - ∫ 1 - x + 3 2 x y   d y

Pra primeira, temos:

∫ 1 - x + 3 6 x   d y = 6 x ∙ y y = 1 y = - x + 3 = 6 x ∙ - x + 2 = - 6 x 2 + 1 2 x

Pra segunda, temos:

∫ 1 - x + 3 2 x 2   d y = 2 x 2 ∙ y y = 1 y = - x + 3 = 2 x 2 ∙ - x + 2 = - 2 x 3 + 4 x 2

Pra terceira, temos:

∫ 1 - x + 3 2 x y   d y = 2 x ∙ y 2 2 y = 1 y = - x + 3 = x ∙ - x + 3 2 - 1 2

∫ 1 - x + 3 2 x y   d y = x ∙ x 2 - 6 x + 9 - 1

∫ 1 - x + 3 2 x y   d y = x ∙ x 2 - 6 x + 8 = x 3 - 6 x 2 + 8 x

Juntando as três, temos:

∫ 1 - x + 3 6 x - 2 x 2 - 2 x y   d y = - 6 x 2 + 12 x - - 2 x 3 + 4 x 2 - x 3 - 6 x 2 + 8 x

∫ 1 - x + 3 6 x - 2 x 2 - 2 x y   d y = - 6 x 2 + 12 x + 2 x 3 - 4 x 2 - x 3 + 6 x 2 - 8 x

O que, juntando termos em comum, resulta em:

∫ 1 - x + 3 6 x - 2 x 2 - 2 x y   d y = x 3 - 4 x 2 + 4 x

Ufa, quase lá! Pra fechar, a gente vai remontar e integral, que vai ganhar a forma final de:

∭ E   x   d V = ∫ 1 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x   d x

E agora é só integrar normal em relação a x ! Vamos ter:

∭ E   x   d V = x 4 4 - 4 x 3 3 + 4 x 2 2 x = 1 x = 2 = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2 12 x = 1 x = 2

∭ E   x   d V = 48 - 128 + 96 12 - 3 - 16 + 24 12

∭ E   x   d V = 16 12 - 11 12 = 5 12

Feshow! Questão finalizada!

∭ E   x   d V = 5 12

Resposta

  1. 2 x + 2 y + z = 7
  2. ∭ E   x   d V = 5 12

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