Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Seja E o tetraetro sólido com vértices 0,0 , 1 ,   1,0 , 1 ,   0,3 , 1 ,   0,0 , 3 .

  1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos 1,0 , 1 , 0,3 , 1 , 0,0 , 3 .
  2. Calcule a integral tripla ∭ E   y   d V

Passo 1

Fala povo, tudo bem? Olha só a macete bacana: 3 pontos definem um plano. Ok, ok, mas e daí? Bem, sabe o que também da pra fazer com 3 pontos? Duas retas! Sendo assim, podemos dar nome aos bois:

P = 1,0 , 1

Q = 0,3 , 1

R = 0,0 , 3

Basta montarmos vetores com esses pontos de forma que um desses pontos seja comum aos dois vetores. Escolhendo P como ponto em comum, temos:

P Q → = Q - P = 0,3 , 1 - 1,0 , 1 = - 1,3 , 0

P R → = R - P = 0,0 , 3 - 1,0 , 1 = - 1,0 , 2

Como que isso ajuda em algo, você deve estar se perguntando. Bem, lembre-se que a equação geral de um plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto pertencente ao plano e a , b , c é a direção do vetor normal ao plano. Galera, ai que entra o pulo do gato! Se P Q → e P R → são coplanares, então um vetor perpendicular a eles será normal ao plano! Pra achar esse vetor, fazemos o produto vetorial:

P Q → × P R → = i j k - 1 3 0 - 1 0 2

Calculando essa determinante, temos:

P Q → × P R → = 2 3 i + 0 - 1 j + 0 - 1 k - 0 0 i + - 1 2 j + 3 - 1 k

P Q → × P R → = 6   i + 2 j + 3 k

P Q → × P R → = 6 , 2 , 3

Usando o ponto P = 1,0 , 1 e as direções do vetor 6,2 , 3 , chegamos na seguinte equação do plano:

6 ∙ x - 1 + 2 ∙ y - 0 + 3 ∙ z - 1 = 0

O que é o mesmo que:

6 x + 2 y + 3 z = 9

Passo 2

Show, pra fechar essa questão, vamos calcular ∭ E   y   d V sabendo que E é um tetraedro cheio de pontinhos. Pegando todos os pontos do enunciado, podemos esboçar esse tetraedro:

Se juntarmos essa imagem com a do plano, vemos que uma das fazes do tetraedro está inteiramente contida no plano:

O que mostra pra gente que o nosso limite de integração de z deve ser:

1 < z < P l a n o

Isolando z na equação do plano, temos:

6 x + 2 y + 3 z = 9

3 z = 9 - 6 x - 2 y

z = 3 - 2 x - 2 3 y

Logo:

1 < z < 3 - 2 x - 2 3 y

Já os limites de integração de x , y a gente tira olhando a base do tetraedro do plano x , y :

Onde a reta y = - x + 4 pode ser obtida fazendo um sistema de equações que inclua os pontos 1,0 e 0,3 :

y = a x + b

3 = 0 a + b 0 = a + b

Do Sistema de equações achamos

b = 3

a = - 3

Jogando esse valor de a em qualquer uma das duas equações, encontramos b = 4 . Sendo assim, pelo desenho, concluímos que:

0 < x < 1

0 < y < - 3 x + 3

E a integral fica:

∭ E   y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - 3 x + 3 ∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y x   d z   d y   d z

∭ E   y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - 3 x + 3 ∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y y   d z   d y   d x

Passo 3

Bora fechar essa questão e partir pro abraço! Agora é só integrar! Pra começar, vamos fazer a integral mais interna:

∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y y   d z

Pra ela, x nada mais é do que uma constante! Logo:

∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y y   d z = y ∙ z z = 1 z = 3 - 2 x - 2 3 y = y ∙ 3 - 2 x - 2 3 y - 1

∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y y   d z = 2 y - 2 x y - 2 3 y 2

A integral tripla vira então uma integral dupla:

∭ E   y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - 3 x + 3 ∫ 1 3 - 2 x - 2 3 y y   d z   d y   d x

∭ E   y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - 3 x + 3 2 y - 2 x y - 2 3 y 2   d y   d x

Novamente, a gente pega a integral mais interna, que é em função de y . Podemos ainda, pra enrolar menos, separar ela em três:

∫ 0 - 3 x + 3 2 y - 2 x y - 2 3 y 2   d y = ∫ 0 - 3 x + 3 2 y   d y - ∫ 0 - 3 x + 3 2 x y   d y - ∫ 0 - 3 x + 3 2 3 y 2   d y

Pra primeira, temos:

∫ 0 - 3 x + 3 2 y   d y = 2 ∙ y 2 2 y = 0 y = - 3 x + 3 = - 3 x + 3 2 = 9 x 2 - 18 x + 9

Pra segunda, temos:

∫ 0 - 3 x + 3 2 x y   d y = 2 x ∙ y 2 2 y = 0 y = - 3 x + 3 = x ∙ - 3 x + 3 2 = 9 x 3 - 18 x 2 + 9 x

Pra terceira, temos:

∫ 0 - 3 x + 3 2 3 y   d y = 2 3 ∙ y 3 3 y = 0 y = - 3 x + 3

∫ 0 - 3 x + 3 2 3 y   d y = 2 9 ∙ - 3 x + 3 3 = 2 9 ∙ - 27 x 3 + 81 x 2 - 81 x + 27

∫ 0 - 3 x + 3 2 3 y   d y = 2 ∙ - 3 x 3 + 9 x 2 - 9 x + 3

∫ 0 - 3 x + 3 2 3 y   d y = - 6 x 3 + 18 x 2 - 18 x + 6

Juntando as três, temos:

∫ 0 - 3 x + 3 2 y - 2 x y - 2 3 y 2   d y = 9 x 2 - 18 x + 9 - 9 x 3 - 18 x 2 + 9 x - - 6 x 3 + 18 x 2 - 18 x + 6

∫ 0 - 3 x + 3 2 y - 2 x y - 2 3 y 2   d y = 9 x 2 - 18 x + 9 - 9 x 3 + 18 x 2 - 9 x + 6 x 3 - 18 x 2 + 18 x - 6

O que, juntando termos em comum, resulta em:

∫ 0 - 3 x + 3 2 y - 2 x y - 2 3 y 2   d y = - 3 x 3 + 9 x 2 - 9 x + 3

Ufa, quase lá! Pra fechar, a gente vai remontar e integral, que vai ganhar a forma final de:

∭ E   y   d V = ∫ 0 1 - 3 x 3 + 9 x 2 - 9 x + 3   d x

E agora é só integrar normal em relação a x ! Vamos ter:

∭ E   y   d V = - 3 x 4 4 + 3 x 3 - 9 x 2 2 + 3 x x = 0 x = 1 = - 3 4 + 3 - 9 2 + 3

∭ E   y   d V = - 3 + 12 - 18 + 12 4 = 3 4

Uhuul, no final, o nosso resultado será:

∭ E   y   d V = 3 4

Resposta

  1. 6 x + 2 y + 3 z = 9
  2. ∭ E   y   d V = 3 4

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