Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ E 6 x y   d V

Onde, E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1

Passo 1

Fala aí, pessoal! Vamos fazer uma integral tripla, a coisa mais normal pra um engenheiro!

Vamos começar olhando para função que temos dada no enunciado:

∭ E 6 x y   d V

Beleza, ele não nos disse de cara os limites de integração, então precisamos entender qual o domínio que estamos trabalhando. O enunciado nos diz que a região do espaço está abaixo do plano:

z = 1 + x + y

E acima do plano x y :

z > 0

Portanto, temos:

0 ≤ z ≤ 1 + x + y

Agora, precisamos entender o comportamento da região no plano x y . O enunciado nos disse que a região está limitada pelo valor de x :

x = 1

E pelos valores de y :

y = x

y = 0

Levando em consideração esses valores, a região pode ser escrita da forma:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x

Portanto, a nossa integral inicial:

∭ E 6 x y   d V

Pode ser reescrita com os valores dos limites de integração:

0 ≤ z ≤ 1 + x + y 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ x → ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y 6 x y   d z d y d x

Muito cuidado na hora de colocar a ordem! O resultado deve ser um número! Então a nossa ordem vai ser primeiro integrar em z para toda a integral ficar em termo de x e y , depois como y está relacionado com x , vamos integrar em y e último integrar em x .

Não se preocupa que pareceu confuso agora, nós vamos fazer esse passo a passo juntos!

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável z :

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y 6 x y   d z d y d x

Como não temos nenhum valor de z , todo o resto se torna uma constante multiplicando o valor de z :

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 x y   z 0 1 + x + y   d y d x

Substituindo os limites de integração:

z 0 1 + x + y = 1 + x + y - 0 = 1 + x + y

Então voltando a nossa integral:

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 x y ⋅ 1 + x + y   d y d x

Aplicando a distributiva, estamos prontos para integrar em y :

∫ 0 1 ∫ 0 x 6 x y + 6 x 2 y + 6 x y 2   d y d x

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a y . Logo,

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 x y + 6 x 2 y + 6 x y 2   d y d x

Vamos pensar que todo o resto que não é y são apenas constantes:

∫ 0 1 ∫ 0 x 6 x y + 6 x 2 y + 6 x y 2   d y d x = ∫ 0 1 3 x y 2 + 3 x 2 y 2 + 2 x y 3 0 x d x

Vamos aplicar individualmente as integrais:

3 x y 2 0 x = 3 x ⋅ x 2 - 3 x ⋅ 0 2 = 3 x ⋅ x - 0 = 3 x 2

3 x 2 y 2 0 x = 3 x 2 ⋅ x 2 - 3 x 2 ⋅ 0 2 = 3 x 2 ⋅ x - 0 = 3 x 3

2 x y 3 0 x = 2 x ⋅ x 3 - 2 x ⋅ 0 3 = 2 x ⋅ x 3 2 - 0 = 2 x 5 / 2

Voltando a nossa integral e fazendo a substituição, nós teremos:

∫ 0 1 3 x y 2 + 3 x 2 y 2 + 2 x y 3 0 x d x = ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 5 / 2 ) d x

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 5 / 2 ) d x

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a x :

∭ E 6 x y   d V = ∫ 0 1 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 5 2 d x

Integrando cada elemento separadamente, nós ficamos com

∭ E 6 x y   d V = 3 ⋅ x 3 3 + 3 ⋅ x 4 4 + 2 ⋅ x 7 2 7 2 0 1

Simplificando essa expressão, teremos:

3 ⋅ x 3 3 + 3 ⋅ x 4 4 + 2 ⋅ x 7 2 7 2 0 1 = x 3 + 3 x 4 4 + 4 7 ⋅ x 7 2 0 1

Após substituirmos os valores de integração, ficamos com:

x 3 + 3 x 4 4 + 4 7 ⋅ x 7 2 0 1 = 1 3 + 3 ⋅ 1 4 4 + 4 7 ⋅ 1 7 2 - 0 3 + 3 ⋅ 0 4 4 + 4 7 ⋅ 0 7 2

Resolvendo:

x 3 + 3 x 4 4 + 4 7 ⋅ x 7 2 0 1 = 1 + 3 4 + 4 7 - 0 + 0 + 0 = 28 + 21 + 16 28

∭ E 6 x y   d V = x 3 + 3 x 4 4 + 4 7 ⋅ x 7 2 0 1 = 65 28

No final, nossa integral tripla tem como resultado:

∭ E 6 x y   d V = 65 28

Resposta

∭ E 6 x y   d V = 65 28

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