Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule

∫ ∫ ∫ D z d x d y d z , onde D é limitada pelos planos x   =   0 ,   y   =   0 ,   z   =   0 ,   y   +   z   =   1   e   x   +   z   =   1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ D z d x d y d z , onde D é limitada pelos planos x   =   0 ,   y   =   0 ,   z   =   0 ,   y   +   z   =   1   e   x   +   z   =   1 .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região D .

x   =   0 ,   y   =   0 ,   z   =   0 ,   y   +   z   =   1   e   x   +   z   =   1 .

temos que

y   +   z   =   1   e   x   +   z   =   1

⇒ y   =   1 - z   e   x   =   1 - z

Logo, como x   =   0 e y   =   0 z =   0 delimitam a região então temos que

0 ≤ z ≤ 1

Agora podemos montar nossa integral. Temos:

∫ ∫ ∫ D z d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z   ∫ 0 1 - z z d x d y d z

integrando em x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z   z ( 1 - z ) d y d z

Agora, vamos integrar em y

= ∫ 0 1 z ( 1 - z ) 2 d z

para finalizar. Integrando em z

= - z ( 1 - z ) 3 / 3 - ( 1 - z ) 4 / 12   | z = 1 z = 0

= 1 / 12

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1 / 12

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