Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

1 . Seja E a região sólida no primeiro octante limitada pelos planos y = x , x = 0 e pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 . Calcule

∭ E z   d V

Passo 1

Vamos dar uma olhadinha no nosso sólido:

Ou seja, o nosso sólido é aquela partezinha no primeiro octante entre os planos, e se projetarmos no plano x y teremos um triângulo retângulo abaixo:

E podemos ver que essa região está em 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ y ≤ 1 , agora temos todas as bases para desenvolver a questão.

Passo 2

Com as informações que mostramos no passo anterior podemos já definir o nosso sólido pois sabemos que o sólido está limitado superiormente pelo cilindro, então:

E = x , y , z ; 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y ,   0 ≤ z ≤ 1 - y 2

Ou seja:

∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ 0 1 - y 2 z   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y z 2 2 0 1 - y 2 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 1 - y 2 2 2 d x d y   =

= ∫ 0 1 ∫ 0 y 1 - y 2 2 d x d y   = ∫ 0 1 1 - y 2 2 x 0 y d y = ∫ 0 1 y - y 3 2 d y = 1 2 y 2 2 - y 4 4 0 1 =

= 1 2 1 2 - 1 4 = 1 2 ⋅ 2 8 = 1 8

Resposta

∭ E z   d V = 1 8

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