Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Seja E o tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,   1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 3 .

a) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   0,0 , 3 .

b) Calcule a integral tripla

∫ ∫ ∫ E x d V

Passo 1

a) Oi! Tá bem? Para montar a equação de um plano, a gente precisa de duas coisas. A primeira é um vetor normal a esse plano n → .

E para achar esse cara, vamos calcular dois vetores, paralelos a esse plano, formados por esses 3 pontos que temos. Só fazer um ponto menos o outro. Ficam assim:

P 1 = 1,0 , 0 ,     P 2 = 0,1 , 0 ,     P 3 = 0,0 , 3

u → = P 2 - P 1 = 0,1 , 0 - 1,0 , 0 = - 1 , 1 , 0

v → = P 3 - P 1 = 0,0 , 3 - 1,0 , 0 = - 1 , 0 , 3

Agora a gente vai achar nosso vetor normal ao plano a partir desses dois.

A gente tinha dois vetores paralelos ao plano. Se a gente calcular o produto vetorial entre eles, isso nos dá um vetor normal a esses dois vetores, e logo, um vetor normal ao plano.

n → = u → × v → = i ^ j ^ k ^ - 1 1 0 - 1 0 3 = 3 - 0 i ^ - - 3 - 0 j ^ + 0 - - 1 k ^ = 3,3 , 1

Passo 2

Aí para achar a equação do plano que passa por esses pontos, a gente precisa usar a fórmulinha:

n → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Onde n → é um vetor normal ao nosso plano. Que a gente já achou.

n → = 3,3 , 1

E x 0 , y 0 , z 0 é um ponto que pertence ao plano. Podemos escolher qualquer um dos nossos 3 pontos. Aí podemos escrever:

x 0 , y 0 , z 0 = P 1 = 1,0 , 0

Nossa fórmulinha fica:

3,3 , 1 ⋅ x - 1 , y - 0 , z - 0 = 0

3 x - 3 + 3 y + z = 0 ∴ 3 x + 3 y + z = 3

Passo 3

b) Queremos calcular a integral tripla

∫ ∫ ∫ E x d V

Onde E é o tetraedro de vértices 0,0 , 0 ,   1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 3 . A gente precisa descrever essa região usando extremos de integração para poder calcular a integral.

Vamos esboçar esse cara, é só marcar esses pontos no gráfico e os ligar por retas, assim:

Aí a gente percebe que no eixo z , nossa região está acima de z = 0 e abaixo do plano que passa pelos pontos 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   0,0 , 3 . A gente descobriu a equação desse cara!

3 x + 3 y + z = 3 ∴ z = 3 - 3 x - 3 y

Podemos então dizer que

0 ≤ z ≤ 3 - 3 x - 3 y

Passo 4

Falta limitar x e y . Agora repara que no plano x y , a projeção da nossa região E é o triângulo de vértices 1,0 ,   0,1 ,   0,0 .

Olha a cara dele:

O que a gente precisa fazer aqui é definir essa região como extremos de integração.

Passo 5

Precisamos limitar uma das variáveis entre constantes e a outra pode estar entre funções, beleza?

Vamos começar olhando para o eixo x . A gente pode dizer que nele, a nossa região está limitada entre os valores de x = 0 e x = 1 .

0 ≤ x ≤ 1

Agora olhando para y , a gente vê que ele está entre a reta r , limitando nossa região por cima, e a reta y = 0 , limitando nossa região por baixo. Então a genta pode escrever:

0 ≤ y ≤ r e t a   r

A reta r é a reta que passa pelos pontos ( 0 , 1 ) e ( 1 , 0 ) . Podemos usar a equação da reta para acha-la. Fica assim:

y - y 0 = Δ y Δ x x - x 0 ∴ y - 1 = 1 - 0 0 - 1 x - 0 ∴ y = - x + 1

Aí a nosso y precisa estar limitado entre constantes ou funções de x , aí fica assim:

0 ≤ y ≤ - x + 1

Passo 6

Agora é montar a integral.

∫ ∫ ∫ E x d V

Temos os extremos de integração:

0 ≤ z ≤ 3 - 3 x - 3 y

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ - x + 1

Aí como precisamos integrar primeiro em relação a variável que está entre funções de x e y , e depois a que está entre funções de x , fica assim:

∫ ∫ ∫ E x d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 ∫ 0 3 - 3 x - 3 y x d z d y d x

Passo 7

Calculando essa belezura:

∫ ∫ ∫ E x d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 x z 0 3 - 3 x - 3 y d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 3 x - 3 x 2 - 3 x y d y d x = ∫ 0 1 3 x y - 3 x 2 y - 3 x y 2 2 0 - x + 1 d x =

= ∫ 0 1 3 x - x + 1 - 3 x 2 - x + 1 - 3 x - x + 1 2 2 d x =

= ∫ 0 1 3 x 3 - 6 x 2 + 3 x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 3 x 3 - 6 x 2 + 3 x d x =

= 1 2 3 4 x 4 - 6 3 x 3 + 3 2 x 2 0 1 = 1 2 3 4 - 6 3 + 3 2 =

= 1 8

Resposta

a) 3 x + 3 y + z = 3

b) 1 8

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