Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Avalie a integral ∭ G x   d V , onde G é o tetraedro com vértices em ( 4 ,   0 ,   0 ) , ( 0 ,   8 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   4 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um tetraedro com vértices em ( 4 ,   0 ,   0 ) , ( 0 ,   8 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   4 ) e pediu pra gente calcular a integral tripla de x nessa região, pra obter o volume.

O primeiro passo pra gente conseguir calcular essa integral é definir os intervalos de integração. Do ponto ( 4 ,   0 ,   0 ) , a gente sabe que x tá variando de 0 a 4 . Pra descobrir como y e z estão variando, nós vamos precisar analisar o plano x y e o espaço x y z pra determinar duas funções.

A partir disso, a gente consegue montar a integral na forma:

∭ G x   d V = ∫ a b ∫ 0 y ( x ) ∫ 0 z ( x ,   y ) x   d z d y d x

Então, vamos lá!

Passo 2

Nós já sabemos, pelo passo 1 , que:

0 ≤ x ≤ 4

Pra descobrir como y tá variando, a gente precisa analisar o plano x y , onde a gente tem os pontos ( 4 ,   0 ) e ( 8 ,   0 ) . Com esses dois pontos, nós conseguimos calcular o coeficiente angular da reta que liga os eixos x e y no tetraedro.

Assim,

m = Δ x Δ y = 8 - 0 0 - 4 = - 2

Usando a equação geral da reta, nós podemos definir a função y ( x ) :

y - y P = m ( x - x P )

Substituindo os pontos e o valor de m que encontramos, temos:

y - 0 = m ( x - 4 )

y = - 2 x + 8

Passo 3

Agora pra saber como z tá variando, nós precisamos olhar para o gráfico do nosso tetraedro:

Repare que z varia de z = 0 até uma função no espaço x y z que define aquele plano (face frontal do tetraedro).

Pra definir essa função, nós precisamos definir três vetores linearmente independentes e calcular o determinante deles, que precisa ser igual a zero. Dessa forma, nós podemos definir no espaço os vetores:

u → = 0 ,   8 ,   0 - 4 ,   0 ,   0 = ( - 4 ,   8 ,   0 )

v → = 0 ,   0 ,   4 - 4 ,   0 ,   0 = ( - 4 ,   0 ,   4 )

E o ponto P ( 0 ,   8 ,   0 ) . Com esses três vetores, calculamos o determinantes na forma:

u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 x - x p y - y p z - z p = 0

O resultado vai nos dá uma função z ( x ,   y ) , que vai ser nosso terceiro intervalo de integração.

- 4 8 0 - 4 0 4 x - 0 y - 8 z - 0 = 0

Calculando o determinante, temos:

32 x + 32 z + 16 y - 128 = 0

Dividindo todo mundo por 16 e isolando z , temos:

2 x + y + 2 z = 8

z = 8 - 2 x - y 2

Passo 4

Então, nós já temos nossos intervalos de integração:

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ y = - 2 x + 8

0 ≤ z ≤ 8 - 2 x - y 2

E podemos calcular a integral ∭ G x   d V fazendo:

V = ∫ 0 4 ∫ 0 - 2 x + 8 ∫ 0 8 - 2 x - y 2 x d z d y d x

Vamos começar integrando em relação a z :

V = ∫ 0 4 ∫ 0 - 2 x + 8 ∫ 0 8 - 2 x - y 2 x d z d y d x

V = ∫ 0 4 ∫ 0 - 2 x + 8 x 8 - 2 x - y 2 - 0 d y d x

Integrando agora em relação a y , temos:

V = ∫ 0 4 ∫ 0 - 2 x + 8 4 x - x 2 - x y 2 d y d x

V = ∫ 0 4 4 x y - x 2 y - x y 2 4 0 - 2 x + 8 d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

V = ∫ 0 4 4 x - 2 x + 8 - x 2 - 2 x + 8 - x 4 - 2 x + 8 2 d x

V = ∫ 0 4 24 x + 2 x 3 - 8 x 2 - x 3 + 8 x 2 - 16 x   d x

V = ∫ 0 4 x 3 + 8 x d x

Por fim, integramos em relação a x :

V = x 4 4 + 8 x 2 2 0 4

V = 4 4 4 + 4 4 2 = 64 + 64

V = 128

E encontramos nosso volume.

Valeu, galera! 😉

Resposta

V = 128

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