Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule

∫ ∫ ∫ D z y d x d y d z , onde   D   =   { ( x ,   y ,   z )   :   0   ≤   z   ≤   1 ,   0   ≤   y   ≤   2 z ,   0   ≤   x   ≤   z   +   2 } .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ D z y d x d y d z , onde   D   =   { ( x ,   y ,   z )   :   0   ≤   z   ≤   1 ,   0   ≤   y   ≤   2 z ,   0   ≤   x   ≤   z   +   2 } .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região D .

  D   =   { ( x ,   y ,   z )   :   0   ≤   z   ≤   1 ,   0   ≤   y   ≤   2 z ,   0   ≤   x   ≤   z   +   2 } .

Nossa região já está representada da melhor forma possível. Então vamos montar nossa integral

∫ ∫ ∫ D z y d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 2 z ∫ 0 z + 2 z y d x d y d z

integrando em x

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 z z y ( z + 2 ) d y d z

Agora, vamos integrar em y

= ∫ 0 1 z y 2 ( z + 2 ) / 2   | y = 2 z y = 0 d z

= ∫ 0 1 z 2 z 2 ( z + 2 )   d z ]

= ∫ 0 1 2 z 4 + 4 z 3   d z

integrando em z

= 2 z 5 / 5 + z 4 | z = 1 z = 0

= 7 / 5

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

7 / 5

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