Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Passo 1

Fala aí, pessoal! Vamos para um exercício que mostra o cálculo por trás da física do ciclo de Carnot!

Para o exercício em questão teremos que encontrar a melhor substituição para a função de modo a facilitar na hora da integração da função. Para isso vamos manipular as equações e encontrar termos em comum, show de bola?

Vamos começar plotando as funções do ciclo de Carnot que o enunciado nos deu, nós temos isso aqui:

Porém, integrar essas funções exige um trabalho muito maior do que se aplicarmos uma mudança de variável. Podemos separar em dois conjuntos: um deles contendo as isotermas e o outro com as adiabaticas. Temos para o primeiro conjunto as duas equações:

x ⋅ y = a

x ⋅ y = b

Aplicando a transformação:

u = x ⋅ y

E substituindo na equação, ficamos com

u = a

u = b

a ≤ u ≤ b

Para o segundo conjunto, temos que as equações são:

x ⋅ y 7 5 = c

x ⋅ y 7 5 = d

Aplicando a substituição:

v = x ⋅ y 7 5

E substituindo na equação, temos que:

v = c

v = d

c ≤ v ≤ d

Plotando esse novo gráfico ficamos com

Passo 2

Como foi dito no enunciado, temos que a área do gráfico será o trabalho realizado pelo sistema.

W = ∫ d A

Calculando então a área da segunda figura, temos que:

∫ d A = ∫ a b ∫ c d d u d v

Integrando nos dois intervalos de integração de u e de v :

W = ∫ d A = b - a ⋅ d - c

Chegamos a conclusão que o trabalho é igual a:

W = b - a ⋅ d - c

Bem tranquilinho, concorda comigo? Então te vejo na próxima questão!

Resposta

W = b - a ⋅ d - c

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