Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule a integral tripla

∫ ∫ ∫ E x y d V ,

em que E é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y .

Passo 1

Queremos calcular a integral tripla

∫ ∫ ∫ E x y d V

Onde E é a região limitada ao mesmo tempo pelas equações:

y = x 2 ,     x = y 2 ,     z = 0 ,     z = x + y

A gente precisa descrever essa região usando extremos de integração para poder calcular a integral.

Bora!

Passo 2

Vamos limitar x e y . Repara que no plano x y , a projeção da nossa região E é a região no plano limitada pelas curvas que dão origem aos cilindros: y = x 2 ,     x = y 2

y = x 2 é uma parábola virada para cima que passa pela origem, e x = y 2 é uma parábola virada para a direita que também passa pela origem. Repara que nela o termo ao quadrado é o y .

Aí esboçando a região limitada por essas curvas

O que a gente precisa fazer aqui é definir essa região como extremos de integração.

Passo 3

Precisamos limitar uma das variáveis entre constantes e a outra pode estar entre funções, beleza?

Vamos começar olhando para o eixo x .

A gente pode dizer que nele, a nossa região está limitada entre os valores de x = 0 e x = 1 . Essas são as coordenadas das interseções entre y = x 2 e x = y 2 . Podemos ver isso pelo gráfico. Aí dizemos que

0 ≤ x ≤ 1

Aí olhando para y , primeiro a gente precisa isolar y em todas as equações para termos y = f x , e limitar y entre funções de x . Aí falta fazer isso com

x = y 2 ∴ y = x

Agora sim, podemos ver que que nesse eixo, nossa região é limitada por baixo por y = x 2 e por cima por y = x . Aí escrevemos:

x 2 ≤ y ≤ x

Passo 4

Por fim, olhamos a variável z . Ele diz que a região está limitada entre z = 0 e z = x + y .

Como vimos que nossa região em x y está no primeiro quadrante, ou seja, x ≥ 0 ,   y ≥ 0 , temos que

0 ≤ x + y

Aí a gente pode dizer que nossa região é limitada por cima por z = x + y e por baixo por z = 0 . Nossos extremos de integração ficam assim:

0 ≤ z ≤ x + y

Passo 5

Agora é montar a integral.

∫ ∫ ∫ E x y d V

Temos os extremos de integração:

0 ≤ z ≤ x + y

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

Aí como precisamos integrar primeiro em relação a variável que está entre funções de x e y , e depois a que está entre funções de x , fica assim:

∫ ∫ ∫ E x d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y x y d z d y d x

Passo 6

Calculando essa belezura:

∫ ∫ ∫ E x y d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y z 0 x + y d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 y + x y 2 d y d x = ∫ 0 1 x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x d x =

= ∫ 0 1 x 2 x 2 + x x 3 2 3 - x 2 x 4 2 + x x 6 3 d x = ∫ 0 1 x 3 2 + x 5 2 3 - x 6 2 - x 7 3 d x =

x 4 8 + 2 7   x 7 2 3 - x 7 14 - x 8 24 0 1 = 1 8 + 2 7 ⋅ 1 3 - 1 14 - 1 24 = 3 28

Resposta

3 28

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