Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Encontre o volume da região entre o cilindro z = y 2 e o plano x y que é delimitado pelos planos x = 0 , x = 2 , y = - 1 e y = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma região que tá entre um cilindro e um plano x y , e que é cortado pelos planos x = 0 , x = 2 , y = - 1 e y = 1 . Plotando o gráfico, pra gente entender melhor, ficaria essa coisa bonitinha aqui:

Ocultando os planos, fica mais ou menos isso assim:

E aí o enunciado pede pra gente calcular o volume dessa região. Mas pra ficar melhor de visualizar, vamos colocar tudo no plano:

Agora sim, né? Já dá pra ver que a nossa região é essa aí em roxinho. Então, a gente pode usar uma integral tripla pra calcular o volume da região, certo? Ficaria assim:

V = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 y 2 d z d y d x

Então bora calcular essa integral!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a z :

V = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 y 2 d z d y d x = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 z 0 y 2 d y d x

Aplicando os limites de z :

∫ 0 2 ∫ - 1 1 ( y 2 - 0 ) d y d x = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 y 2 d y d x

Integrando agora em relação a y , temos:

∫ 0 2 y 3 3 - 1 1 d x

Aplicando os limites de y :

∫ 0 2 1 3 3 - - 1 3 3 d x = ∫ 0 2 1 3 + 1 3 d x

= ∫ 0 2 2 3 d x

Colocando a constante pra fora da integral:

= 2 3 ∫ 0 2 d x

Integrando agora em relação a x :

2 3 x 2 2 0 2

Aplicando os limites de integração:

2 3 ( 2 ) 2 2 - ( 0 ) 2 2 = 2 3 ( 2 )

= 4 3

E encontramos nosso volume. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

V = 4 3

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