Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

  1. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x y d y d x d z

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão bem padrão de integração tripla. Ele já da a integral bonitinha e precisa-se que você resolva.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Carinha, sempre lembrando a integral tripla ela sempre resolve a de dentro para a de fora, belezinha? Então precisaremos resolver o d y primeiro.

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x y d y d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 z 6 2 x y 2   x + z 0   d x d z

Que irá gerar a seguinte integral dupla:

∫ 0 1 ∫ 0 z 3 x ( x + z ) 2   d x d z

Para resolver essa integral vamos ter que fazer o quadrado perfeito para gerar um polinomiozinho mais deboas de resolver, então vamos lá

∫ 0 1 ∫ 0 z 3 x ( x + z ) 2   d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 z 3 x ( x 2 + 2 x z + z 2 )   d x d z = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 z x 3 + 2 x 2 z + z 2 x   d x d z

Resolvendo a integral de dentro e realizando algumas operações matemáticas temos que:

∫ 0 1 3 4 z 4 + 2 z 4 + z 4 d z = 3 / 4

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x y d y d x d z = 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Calcule a integral iterada.int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x