Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

  1. Calcule ∭ W y - 1 d V , onde W é a região delimitada por x = 0 , z = 0 , x + z = 2 e z = 1 - y 2 .

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!

  1. x = 0 nos representa o próprio plano Y Z :
  2. Assim como a anterior, z = 0 é o plano X Y :

Agora, essa superfície x + y = 2 , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

Passo 2

Para superfície que só dependem de duas inc��gnitas como x + z = 2 , podemos sempre desenhá-la no plano primeiro. No nosso caso, x + z = 2 , note no plano X Z nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Colocando essa mesma reta no espaço...

Pois bem! Agora como essa equação não depende de y , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí ao longo do eixo y , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, z = 1 - y 2 ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano Y Z ):

Depois . . .

“Puxar” essa parábola em torno do outro eixo (no caso aqui é o x ):

E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas 4 coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...

esse cara aí no meio!

Passo 5

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   3 , onde temos o x variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ x ≤ T e t o       →

0 ≤ x ≤ P l a n o   L a r a n j a

Como o plano laranja é justamente x + z = 2 , basta...

0 ≤ x ≤ 2 - z

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano Z Y . Bora?

Passo 6

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, botando seu olho em cima do eixo x:

Repare que essas curvas vêm justamente zerando a coordenada x do cilindro parabólico.

Descrever x e y é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita da seguinte forma

  • y varia em um intervalo numérico:
  • - 1 ≤ y ≤ 1

  • z , entre funções:

R e t a   r o x a ≤ z ≤ P a r á b o l a   a z u l

0 ≤ z ≤ 1 - y 2

Passo 7

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W y - 1 d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 2 - z y - 1     d x d z d y

Começando com a integral de dentro...

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 2 - z y - 1     d x d z d y =

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 y - 1 ∫ 0 2 - z d x d z d y =

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 y - 1 x 0 2 - z d z d y

��� - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 2 - z y - 1 d z d y = ∫ - 1 1 y - 1 ∫ 0 1 - y 2 2 - z d z d y =

∫ - 1 1 y - 1 2 z - z 2 2 0 1 - y 2 d y =

∫ - 1 1 y - 1 2 1 - y 2 - y - 1 1 - y 2 2 2 d y =

∫ - 1 1 - y 5 2 + y 4 2 - y 3 + y 2 + 3 y 2 - 3 2 d y =

- y 6 12 + y 5 10 - y 4 4 + y 3 3 + 3 y 2 4 - 3 y 2 - 1 1 =

1 5 + 2 3 - 3 =

=   - 32 15

Resposta

- 32 15

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