Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

d ) ∭ R y d v onde R é a região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9   e pelos planos x = 0 , y = 3 x   e   z = 0

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão bem padrão de integração tripla. Ele não deu a integral bonitinha portanto precisamos montar para após isso resolver.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Amigão para resolver um problemão desses precisamos primeiramente montar a região de integração.

Eu sei, eu sei, desenhar essas superfícies 3D é o pipoco do trovão de chato.

Mass nessa aqui a gente não precisa disso tudo, belezinha? Tem um macete.

Geralmente eu tento resolver assim, primeiramente vamos desenhar o domínio da superfície no plano ( y , z ) belezinha?

Como faz isso? Bem, fazendo z = 0 nas equações e vendo o que sobra delas, o z só existe naquele plano ali. Então temos a seguinte equação:

y 2 + z 2 = 3 2

Então no plano x , y tua função é algo do tipo:

E como a questão diz que está restrita aos planos x = z = 0 e y = 3 x então a superfície está no primeiro octante e para finalizar temos que as variáveis estão variando entre:

z = [ 0   ,   3 ]

y = [ 0 , 9 - x ]

Agora falta o nosso x olha só ele começa no 0 como é informado na questão e ele vai crescendo até chegar no plano y - 3 x = 0 como também é informado na questão. Porém isolando o nosso x temos que x = y / 3 .

Logo temos que nossa integral é igual a:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - z 2 ∫ 0 y 3 y   d x d y d z

Passo 3

Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.

Primeiro resolvendo da integral mais interna:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - z 2 ∫ 0 y 3 y   d z d y d x = ∫ 0 3 ∫ 0 9 - z 2 y z   y 3 0 d y   d z

Aplicando os limites de integração e resolvendo as demais integrais temos que:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - z 2 y 2 3 d y d z = ∫ 0 3 y 3 9 9 - z 2 0 d z

E finalmente a integral final se torna:

∫ 0 3 9 - z 2 3 2 9 d z

E para resolver essa integral vamos realizar a famosa substituição, porém dessa vez vai ser uma substituição diferente.

Uma coisa assim:

z = 3 c o s ⁡ ( t )

Quando z = 0 temos que o cos ⁡ t = 0 , logo t = π 2 .

Porém quando z = 3 , temos que cos ⁡ t = 3 3 = 1 , logo t = π .

Tomando a diferencial de z temos:

d z = - 3 s e n t

Logo nossa integral se torna:

- ∫ π 2 π 9 - 9 cos 2 ⁡ t   s e n t d t

Lembrando da identidade trigonométrica s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 , essa integra se torna:

- 3 ∫ π 2 π s e n t s e n t d t = - 3 ∫ π 2 π s e n 2 ( t ) d t

Utilizando a identidade:

s e n 2 t = 1 - c o s ⁡ ( t ) 2

Temos que:

- 3 ∫ π 2 π 1 2 d t + 3 ∫ π 2 π cos ⁡ 2 t 2 d t = - 3 π 4

Resposta

- 3 π 4

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