Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Ver Teoria

Enunciado

  1. Calcule ∫ ∫ ∫ R ( x + y + z ) ( x + y - z ) d x d y d z para R limitada por: x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , x + y - z = 0 , x + y - z = 2 , x - y - z = 1 e x - y - z = 2 ;

Passo 1

Olá meu amigo, hoje iremos resolver uma integral tripla limitada pela região R, antes de começar a pensar em como iremos resolve-la vamos visualizar a cara da região R.

Ok, talvez a figura tenha ficado um pouco confusa, mas o que temos ali é um paralelepípedo, então para facilitar nossas contas iremos realizar uma parametrização.

  u = x + y + z

v = x + y - z

w = x - y - z

u + w = 2 x

v - w = 2 y

u - v = 2 z

x = u + w 2

y = v - w 2

z = u - v 2

O nosso querido jacobiano sera dado por

J = 1 4

Passo 2

Agora iremos montar e calcular a nossa integral

∫ ∫ ∫ R x + y + z x + y - z d x d y d z

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 ∫ 1 2 u v 4 d u d v d w

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 v 4 ∙ 1 2 2 2 - 1 1 d v d w

= 3 8 ∫ 1 2 1 2 2 2 d w

= 3 4

Resposta

= 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Calcule a integral iterada.int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x