Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Ver Teoria

Enunciado

Considere a região no primeiro octante delimitada pelo plano x + y = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .

  1. Descreva a região delimitada.
  2. Calcule o volume dessa região.

Passo 1

Letra a)

Bem, vamos começar desenhando essa região ai, para entender melhor o problema. Temos um paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 virado para baixo (em vermelho), limitado ao primeiro octante (planos em verde) e cortado pelo plano x + y = 1 (em azul).

Para você visualizar melhor, a região é essa aqui:

Beleza?

Passo 2

Como podemos ver, no plano x y , temos um domínio D . Em z , o sólido é limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo outro plano paraboloide. Vamos, então, escrever essa região como tipo I.

Temos a coordenada z variando desde z = 0 até a superfície do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 , logo, 0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 . Logo, a região pode ser escrita como:

W = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 }

Passo 3

Vendo a região de cima, podemos descobrir seu domínio D , que, no caso, é o seguinte triângulo:

Essa reta azul é onde o plano x + y = 1 corta o plano z = 0 . Portanto, sua equação é a própria equação do plano fazendo z = 0 , y = 1 - x .

Podemos dizer, então, que y varia desde y = 0 até a equação da reta y = 1 - x , enquanto x varia desde x = 0 até x = 1 .

Temos, então:

D = ( x , y | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1 - x }

Portanto,

W = { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1 - x , 0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 }

Passo 4

Letra b)

Bom, o volume desse sólido será V = ∫ d V = ∭ w   d x d y d z , certo?

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∭ w   d x d y d z = ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x   ∫ 0 4 - x 2 - y 2 d z d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que obedecer a ordem dos intervalos nas integrais. Lembre-se de que o último intervalo (o de fora) dever ser sempre um número.

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x   z z = 0 z = 4 - x 2 - y 2 d y d x = ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 4 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 6

Agora, integramos em relação a y :

= ∫ 0 1   4 y - x 2 y - y 3 3 0 1 - x d x =

= ∫ 0 1   4 - 4 x - x 2 + x 3 - 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 3 d x =

= ∫ 0 1 11 3 - 3 x - 2 x 2 + 4 x 3 3 d x =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a x :

= 11 x 3 - 3 x 2 2 - 2 x 3 3 + x 4 3 0 1 =

= 11 3 - 3 2 - 2 3 + 1 3 =

= 11 6

Resposta

a )       W = { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1 - x , 0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 }

b )       11 6

Exercícios de Livros Relacionados

Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Calcule a integral iterada. ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e yd xd zd y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π ∫ 0 x ∫ 0 x z x 2s e nyd yd zd x
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y