Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

a )   ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão quase padrão de integração tripla. Ele deu a integral bonitinha, então só precisamos resolver utilizando a mudança de coordenadas para cilíndricas.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Amigão, para conseguir resolver isso aqui precisamos primeiro deixar tudo em coordenadas cilíndricas pois a questão pede, ta blz?

Vamos substituir aquele moi de função dentro das integrais e modificar os intervalos de integração para termos as respostas, então vamos lá, vamos dar alguns pulinhos para não ficar algo tão maçante, mas a única coisa que vamos utilizar aqui é a seguinte igualdade:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1

e vamos utilizar a seguinte mudança de variável:

x = cos ⁡ θ

y = s e n ( θ )

z = z

E lembrar que o cos ⁡ 0 = s e n π = 1 e que cos ⁡ π = s e n 3 π 2 = - 1

Belezinha? Quando você substituir e usar essa relação vai ficar assim:

∫ π 0 ∫ - s e n ( θ ) - s e n ( θ ) ∫ 1 1 1 3 2     r   d z d r d θ

Só que aqui temos uma coisa bem legal, existe a seguinte propriedade das integrais:

∫ a a f x d x = 0

Logo, temos que aquele monstrão ali vale 0, devido a integral em z .

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x = 0

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Calcule a integral iterada.int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x