Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Faça um esboço do solido cujo o volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais.

a )   ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão quase padrão de integração tripla. Ele deu a integral bonitinha, mas precisamos montar a superfície, dessa vez não tem como fugir, portanto precisamos montar para após isso resolver.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Amigão para resolver isso aqui primeiramente vamos precisar identificar uma coisa, o eixo z está cartesiano enquanto os demais estão polares. Isso indica que possivelmente esse solido está em coordenadas cilíndricas e por isso aquele r e apenas a jacobiana.

Analisando o nosso problema temos que teta varia de 0 até π 2   . Logo, temos que o nosso domínio polar é 1 4 de uma circunferência.

Agora falta apenas o eixo z , o eixo z = 9 - r 2 que é a equação de um cilindro, sendo assim temos que a nossa superfície deve ser algo mais ou manos assim:

Passo 3

Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.

Primeiro resolvendo da integral mais interna:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r   z 9 - r 2 0 d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r   ( 9 - r 2 ) d r d θ

Vemos que nosso problema não depende da variável θ nos domínios de integração, então podemos resolver ela logo e deixar da seguinte forma:

π 2 ∫ 0 2 r   ( 9 - r 2 ) d r

Realizando a distributiva e fazendo as integrações temos que:

π 2 ∫ 0 2 r   ( 9 - r 2 ) d r = 7 π

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ = 7 π

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,y 2 + z 2 = a 2
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Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x