Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Calcule ∭ W   z   d V , onde W está situado no primeiro octante, limitado pelos planos z = 0 , x = 0 , y = 2 x e pelo cilindro y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui limitando o primeiro octante com essas superfícies lindas z = 0 e x = 0 .

Agora, essa superfície y = 2 x , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como y = 2 x , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, y = 2 x , note no plano X Y nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Com relação à última superfície que compõe o sólido W , y 2 + z 2 = 4 nos representa um cilindro ao redor de x e de raio 2

Juntando então todas essas superfícies podemos ver quem é esse sólido W , que é esse daqui oh:

O cara que está abaixo do teto cilíndrico e delimitado pelos planos, percebeu?

Passo 4

Não trabalhamos com sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

0 ≤ z ≤ C i l i n d r o   V e r m e l h o

Como o cilindro vermelho é justamente y 2 + z 2 = 4 , basta que isolemos o z ...

y 2 + z 2 = 4               →             z = ± 4 - y 2

como só queremos a parte de cima do cilindro...

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 5

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Note que essa reta em vermelho escuro ali, é justamente a reta em que o plano y 2 + z 2 = 4   toca o pano X Y , ou o z = 0 , então...

y 2 + z 2 = 4         →           y 2 = 4                         →                       y 1 = 2 y 2 = - 2

Descarta o negativo!

Descrever x e y é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região T I P O   2 :

  • y varia em um intervalo numérico:
  • 0 ≤ y ≤ 2

  • x , entre funções:

R e t a   p r e t a ≤ x ≤ R e t a   a z u l

0 ≤ x ≤ y 2

Passo 6

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   z d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 ∫ 0 4 - y 2 z     d z d x d y

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 ∫ 0 4 - y 2 z     d z d x d y =

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 z 2 2 0 4 - y 2 d x d y =

substituindo os limites de integração em z e simplificando um pouco...

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 4 - y 2 2 2 d x d y =

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 4 - y 2 2 d x d y =

integrando em x lembrando que y é tomado como uma constante...

∫ 0 2 4 - y 2 2 ∫ 0 y 2 d x d y =

∫ 0 2 2 - y 2 2 x 0 y 2 d y =

∫ 0 2 2 - y 2 2 y 2 d y =

∫ 0 2 y - y 3 4 d y = y 2 2 - y 4 4 ∙ 4 0 2 =

substituindo agora os limites em y , concluímos que...

2 2 2 - 2 4 4 ∙ 4 =

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Resposta

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