Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Calcule ∭ W   z   d V , onde W é o sólido limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 , y + z = 1 e x + z = 1 .

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui limitando o primeiro octante com essas superfícies:   x = 0 , y = 0 , z = 0 .

Agora, essa superfície y + z = 1 , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como y + z = 1 , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, y + z = 1 , note no plano Y Z nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Novamente, podemos repetir o processo para a outra reta: x + z = 1 .

Desenhando então no plano X Z , essa reta

e a puxando, obteremos

que somado as outras superfícies nos dá

o nosso tão esperado sólido W , percebeu? (ele é esse pedacinho de pirâmide )

Passo 4

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   2 , onde temos o y variando de uma “base” até um “teto”.

B a s e ≤ y ≤ T e t o       →

(DICA: acompanhe a seta preta para você ver experimentalmente quem é a base quem é o teto)

B a s e   p r e t a ≤ y ≤ P l a n o   V e r m e l h o

Como o plano vermelho é justamente o plano y + z = 1 , basta que isolemos o y ...

y + z = 1         →             y = 1 - z

0 ≤ y ≤ 1 - z

Quanto ao x e ao z , olhemos para a projeção do sólido no plano X Z . Bora?

Passo 5

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, vai ser de ladinho, como se colocássemos o olho em cima do eixo y e vesse pra lá:

Note que essa reta em preto escuro ali, é justamente a reta em que o plano x + z = 1   toca o pano X Z .

Descrever x e z é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região T I P O   1 :

  • x varia em um intervalo numérico:
  • 0 ≤ x ≤ 1

  • z , entre funções:

0 ≤ z ≤ R e t a   P r e t a

como a reta preta x + z = 1 ...

0 ≤ z ≤ 1 - x

Passo 6

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   z d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o y , seguido pelo z e depois o x :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - z z     d y d z d x

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z ∫ 0 1 - z   d y d z d x =

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z y 0 1 - z d z d x =

substituindo os limites de integração em y ...

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z 1 - z   d z d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z - z 2   d z d x =

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z - z 2   d z d x =

integrando e substituindo os limites em z ...

∫ 0 1 z 2 2 - z 3 3 0 1 - x d x =

∫ 0 1 1 - x 2 2 - 1 - x 3 3 d x =

obtemos essa integral nada bonita. Mas!!! antes de sairmos calculando igual maluco esse quadrado e cubo aí, experimentemos uma mudança de variável...

1 - x = t               →               d t = - d x               →                 d x = - d t

não se esqueça de mudar os limites também

x = 0           →             t = 1 - 0 = 1

x = 1           →             t = 1 - 1 = 0

substituindo...

∫ 1 0 t 2 2 - t 3 3 - d t =

Repare que esse limite está invertido. Podemos revertê-lo caso trocamos o sinal da integral...

∫ 0 1 t 2 2 - t 3 3 d t =

t 3 2 ∙ 3 - t 4 3 ∙ 4 0 1 = 1 6 - 1 12 =

dando no final:

1 12

Resposta

1 12

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