Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 944

Calcule ∭ E   x 2 + z 2 d V , onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x 2 + z 2 e pelo plano y = 4 .

Passo 1

Vamos fazer um esboço dessa região E :

Temos o paraboloide “virado de lado” porque o eixo de simetria é o y (o termo que não está elevado ao quadrado).

Como y varia entre a equação do paraboloide e y = 4 e temos, no plano x z , uma projeção do sólido que representa um domínio D (um círculo), vamos descrever essa região como tipo II.

W = { ( x , y , z ) | x , z ∈ D ;   x 2 + z 2 ≤ y ≤ 4 }

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Passo 2

Perceba que o paraboloide é formado por várias circunferências paralelas a x z , que vão aumentando quando y aumenta. A projeção no plano x z vai ser exatamente a maior dessas circunferências, onde o paraboloide corta o plano y = 4 . Substituindo esse valor na sua equação, temos então a seguinte circunferência: x 2 + z 2 = 4 .

A melhor forma de descrever essa área, como já vimos, é por meio de coordenadas polares, fazendo:

x = r cos ⁡ θ  

z = r sen ⁡ θ

| J | = r

Teremos:

D = ( r , θ | 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ r ≤ 2 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos para a integral iterada. Como tivemos que fazer uma mudança de variáveis para descrever o domínio D , vamos escrevê-lo depois da primeira integração, para não gerar confusões. Temos:

∬ D     ∫ x 2 + z 2 4 x 2 + z 2 d y d A =

Passo 4

Integrando em relação a y , temos:

= ∬ D     y x 2 + z 2 y = x 2 + z 2 y = 4 d A =

= ∬ D   x 2 + z 2   ( 4 - x 2 - z 2 ) d A =

Passo 5

Agora sim, vamos substituir os intervalos de D e fazer a substituição polar (Não se esqueça do Jacobiano!).

Você poderia ter feito isso antes, sem problemas. Optamos por fazer assim apenas por questão de organização.

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 2 r cos ⁡ θ 2 + ( r sen ⁡ θ )   2   ( 4 - r cos ⁡ θ 2 - r sen ⁡ θ )   2 r   d r d θ =

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 2   r ( 4 - r 2 ) r   d r d θ =

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 2 4 r 2 - r 4   d r d θ =

- ''

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 4 r 3 3 - r 5 5 r = 0 r = 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 32 3 - 32 5   d θ = ∫ 0 2 π 64 15   d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 64   θ 15 0 2 π =

Resposta

128 π 15

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