Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Calcule ∭ W d V , onde W é a região do primeiro octante, limitada por x = 4 - y 2 , y = z , x = 0 e z = 0 .

Passo 1

Cara, em exercícios como esse, sempre vamos começar desenhando a região W . Mas não se desespere porque basta seguir o enunciado do problema e ir limitando o sólido, saca?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!

  1. x = 0 nos representa o próprio plano Y Z :
  2. Assim como a anterior, z = 0 é o plano X Y :

Agora, essa superfície y = z , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como y = z , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, y = z , no plano Y Z nos representa uma reta

Pois bem! Agora como essa equação não depende de x , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo x , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, x = 4 - y 2 ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano X Y ):

Depois devemos...?

“Puxar” essa reta em torno do outro eixo (no caso aqui é o z ):

E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas 4 coisas juntas e lembramos que queremos o sólido apenas no primeiro octante.

Assim, o nosso sólido é...

esse cara apontado por esta seta !

Passo 5

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

0 ≤ z ≤ P l a n o   V e r m e l h o

Como o plano vermelho é justamente o plano z = y

0 ≤ z ≤ y

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 6

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Ou melhor:

Onde a parábola x = 4 - y 2 passa por y = 2 como podemos ver e ter certeza quando zeramos o x na equação.

Assim, descrever x e y é justamente descrever essa região aí, como faremos descrevendo do T I P O   2 :

0 ≤ y ≤ 2

enquanto que

0 ≤ x ≤ p a r á b o l a   v e r m e l h a

0 ≤ x ≤ 4 - y 2

Passo 7

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 ∫ 0 y d z d x d y =

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 ∫ 0 y d z d x d y =

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 z 0 y d x d y =

e substituindo em z ...

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 y   d x d y =

calculando agora a integral do meio considerando y constante em relação x ...

∫ 0 2 y   ∫ 0 4 - y 2 d x d y =

∫ 0 2 y   x 0 4 - y 2 d y =

substituindo os limites de integração...

∫ 0 2 y   4 - y 2 d y = ∫ 0 2 4 y - y 3 d y =

4 y 2 2 - y 4 4 0 2 = 4 4 2 - 2 4 4 =

Obtemos...

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Resposta

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