Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Calcule ∭ W d V , onde W é o sólido delimitado por x = 0 , y = 0 , x + y = 2 , z = x 2 + y 2 e z = 0 .

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui com essas três superfícies lindas z = 0 , y = 0 e x = 0 . São os próprios planos coordenados. Veja!

Agora, essa superfície x + y = 2 , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como x + y = 2 , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, x + y = 2 , note no plano X Y nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Colocando esse mesmo plano no espaço...

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Com relação à última superfície que compõe o sólido W , z = x 2 + y 2 nos representa ela, oh!!! PARABOLÓIDE! (fico emocionado quando te posso falar dele, pois esse cara é lindo )

Juntando então todas essas superfícies podemos ver quem é esse sólido W , que é esse daqui oh:

O cara que está abaixo do teto parabólico e delimitado pelos planos, percebeu?

Passo 4

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

0 ≤ z ≤ P a r a b o l ó i d e   v e r m e l h o

Como o paraboloide vermelho é justamente z = x 2 + y 2 , basta

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 5

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Note que essa reta em vermelho escuro ali, é justamente a reta em que o plano x + y = 2 toca o pano X Y

y = 2 - x

Essa reta passa justamente por x = 2 quando y é 0 , como pode ser reparado.

Descrever x e y é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região T I P O   1 :

  • x varia em um intervalo numérico:
  • 0 ≤ x ≤ 2

  • y , entre funções:

R e t a   p r e t a ≤ y ≤ R e t a   a z u l

0 ≤ y ≤ 2 - x

Passo 6

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 x 2 + y 2     d z d y d x

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 x 2 + y 2     d z d y d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x z 0 x 2 + y 2 d y d x =

substituindo os limites de integração...

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 + y 2 d y d x =

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 + y 2 d y d x =

calculando a integral do meio tomando cuidado e considerando o x como constante...

∫ 0 2 x 2 y + y 3 3 0 2 - x d x =

∫ 0 2 2 x 2 - x 3 + 2 - x 3 3 d x =

simplificando lembrando que a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

∫ 0 2 2 x 2 - x 3 + 2 3 - 3 2 2 x + 3 2 x 2 - x 3 3 d x =

dando aquela simplificada marota

∫ 0 2 2 x 2 - x 3 + 8 3 - 4 x + 2 x 2 - x 3 3 d x = ∫ 0 2 8 3 - 4 x + 4 x 2 - 4 x 3 3 d x =

8 3 x - 4 x 2 2 + 4 x 3 3 - 4 3 x 4 4   0 2 =

e substituindo chegamos a...

8 3 2 - 4 2 2 2 + 4 2 3 3 - 2 4 3   =

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Resposta

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