Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Integrais triplas

Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 4 - y 2 , z = 2 y + 1 .

Passo 1

O volume desse sólido, que chamaremos de W , é dado pela seguinte integral:

V = ∭ W   d z d y d z

Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos um paraboloide elíptico virado para baixo cortado por um plano perpendicular ao y z :

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Passo 2

Vamos escrever essa região como tipo I, limitando z entre as equações do plano e do paraboloide. Sendo D a projeção da região no plano x y , temos o seguinte:

W = ( x , y , z ) | 2 y + 1 ≤ z ≤ 4 - x 2 4 - y 2 ,   ( x , y ) ∈ D

Levando isso para a integral, temos:

V = ∭ W   d z d y d z = ∬ D   ∫ 2 y + 1 4 - x 2 4 - y 2 d z d A

Passo 3

Integrando em relação a z :

V = ∬ D   z 2 y + 1 4 - x 2 4 - y 2 d A

= ∬ D   4 - x 2 4 - y 2 - 2 y - 1 d A =

Passo 4

Agora vamos descrever essa região D , projeção do sólido no plano x y .

Primeiro vamos descobrir a equação da curva que limita D , fazendo a interseção entre a equação do plano e a do paraboloide:

z = 4 - x 2 4 - y 2 = 2 y + 1

Mexendo um pouco nisso aqui, temos:

x 2 4 + y 2 + 2 y = 3

x 2 4 + y + 1 2 = 4

Então, sabemos que D é o interior dessa elipse deslocada da origem no plano x y : x 2 4 + y + 1 2 ≤ 4

Vamos, então, usar coordenadas elípticas deslocadas, ok:

x = 2 r cos ⁡ θ

y = r s e n   θ - 1

J = 2 r

Esses coeficientes 2 e 1 adicionados às coordenadas polares estão aí para cancelar os coeficientes da elipse, “transformando” ela numa circunferência descrita por r = 2 .

Então, D é descrita por 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Fazendo a mudança polar na integral, temos:

∬ D   4 - x 2 4 - y 2 - 2 y - 1 d A =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 -   2 r cos ⁡ θ 2 4 - r   s e n   θ - 1 2 - 2 r   s e n   θ + 2 - 1 2 r   d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 4 - r 2 cos 2 ⁡ θ - ( r 2 sen 2 ⁡ θ - 2 r sen ⁡ θ + 1 ) - 2 r sen ⁡ θ + 1 ] 2 r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 - r 2 2 r   d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3   d r d θ =

Passo 5

Agora vamos integrar isso aí:

= ∫ 0 2 π 4 r 2 - r 4 2 0 2   d θ =

= ∫ 0 2 π 16 - 16 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 8   d θ =

Agora, em relação a θ :

= 8 θ 0 2 π =

= 16 π

Resposta

16 π

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