Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 195

Calcule o volume do sólido W limitado pelas superfícies de equações z + x 2 = 9 , y + z = 4 , y = 0 e y = 4 .

Passo 1

O volume pedido será dado por ∭ W   d x d y d z . Vamos fazer um esboço dessa região W :

A superfície vermelha representa o cilindro de equação z + x 2 = 9 , independente de y . Assim, podemos interpretar como várias parábolas z = 9 - x 2 ao longo desse eixo. Podemos utilizar o mesmo raciocínio para o plano azul, de equação y + z = 4 , independente de x .

Como podemos ver a variável z varia entre o plano z = 4 - y e o cilindro parabólico z = 9 - x 2 . No plano x y , a projeção do sólido representa um domínio D . Vamos escrever, então, essa região como tipo I:

W = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   4 - y ≤ z ≤ 9 - x 2 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos descrever o domínio D . Para sabermos que região é essa, vamos fazer a interseção entre o cilindro e plano inclinado:

z = 9 - x 2 = 4 - y

y = x 2 - 5

z = 9 - x 2 z = 4 - y → 9 - x 2 = 4 - y ∴ y = x 2 - 5

A projeção da interseção no plano x y é, portanto, uma parábola de concavidade para cima. Podemos, agora, fazer um esboço dessa região:

Para descobrirmos a equação dessa reta vermelha basta fazer a interseção do plano inclinado com o plano x y , ou seja, substituindo z = 0 em z = 4 - y teremos y = 4 .

Como a região está limitada na esquerda e na direita pela parábola e em cima e embaixo por uma constante, vamos escrevê-la como tipo II. Já sabemos que y varia entre 0 e 4 . Isolando os termos x na equação da parábola, temos ± y + 5 , então, escrevemos a região como:

D = ( x , y | 0 ≤ y ≤ 4 ; - y + 5 ≤ x ≤ y + 5 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos para a integral iterada:

∫ 0 4   ∫ - y + 5 y + 5   ∫   4 - y 9 - x 2 d z d x d y =

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a z

= ∫ 0 4   ∫ – y + 5 y + 5 z   z = 4 - y z = 9 - x 2   d x d y =

= ∫ 0 4   ∫ – y + 5 y + 5 ( 9 - x 2 - 4 + y )   d x d y = ∫ 0 4   ∫ – y + 5 y + 5 ( 5 - x 2 + y )   d x d y =

Passo 5

Agora integraremos em relação a x :

= ∫ 0 4 5 x - x 3 3 + x y x = – y + 5 x = y + 5   d y =

= ∫ 0 4 y + 5 1 / 2 5 + y - y + 5 3 / 2 3   - - y + 5 1 / 2 5 + y + y + 5 3 / 2 3   d y =

= ∫ 0 4 2 y + 5 3 / 2 - 2 y + 5 3 / 2 3   d y =

Passo 6

Finamente, integramos em relação a y :

= 2 . 2 5 y + 5 5 / 2 - 2 3 . 2 5 y + 5 5 / 2 0 4 =

= 8 15 y + 5 5 / 2 0 4 =

Resposta

8 15 243 - 25 5

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas