Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

CEFET - Cálculo 2 - P1 Roberto Sa 2012.1 – 2

Considere a região no primeiro octante delimitada pelo plano x + y = 1 e pelo paraboloide 4 - x 2 - y 2 .

  1. Descreva a região delimitada.
  2. Calcule o volume dessa região.

Passo 1

Letra a)

Bem, vamos começar desenhando essa região ai, para entender melhor o problema. Temos um paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 virado para baixo (em vermelho), limitado ao primeiro octante (planos em verde) e cortado pelo plano x + y = 1 (em azul).

Para você visualizar melhor, a região é essa aqui:

Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como podemos ver, no plano x y , temos um domínio D . Em z , o sólido é limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo outro plano paraboloide. Vamos, então, escrever essa região como tipo I.

Temos a coordenada z variando desde z = 0 até a superfície do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 , logo, 0 z 4 - x 2 - y 2 . Logo, a região pode ser escrita como:

W = { ( x , y , z ) | x , y D ;   0 z 4 - x 2 - y 2 }

Passo 3

Vendo a região de cima, podemos descobrir seu domínio D , que, no caso, é o seguinte triângulo:

Essa reta azul é onde o plano x + y = 1 corta o plano z = 0 . Portanto, sua equação é a própria equação do plano fazendo z = 0 , y = 1 - x .

Podemos dizer, então, que y varia desde y = 0 até a equação da reta y = 1 - x , enquanto x varia desde x = 0 até x = 1 .

Temos, então:

D = ( x , y | 0 x 1 ; 0 y 1 - x }

Portanto,

W = { ( x , y , z ) | 0 x 1 ; 0 y 1 - x , 0 z 4 - x 2 - y 2 }

Passo 4

Letra b)

Bom, o volume desse sólido será V = d V = w   d x d y d z , certo?

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

w   d x d y d z = 0 1   0 1 - x   0 4 - x 2 - y 2 d z d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que obedecer a ordem dos intervalos nas integrais. Lembre-se de que o último intervalo (o de fora) dever ser sempre um número.

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 1   0 1 - x   z z = 0 z = 4 - x 2 - y 2 d y d x = 0 1   0 1 - x 4 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 6

Agora, integramos em relação a y :

= 0 1   4 y - x 2 y - y 3 3 0 1 - x d x =

= 0 1   4 - 4 x - x 2 + x 3 - 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 3 d x =

= 0 1 11 3 - 3 x - 2 x 2 + 4 x 3 3 d x =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a x :

= 11 x 3 - 3 x 2 2 - 2 x 3 3 + x 4 3 0 1 =

= 11 3 - 3 2 - 2 3 + 1 3 =

= 11 6

Resposta

a )       W = { ( x , y , z ) | 0 x 1 ; 0 y 1 - x , 0 z 4 - x 2 - y 2 }

b )       11 6

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