Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Origem do Exercício

Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x 2 + 3 y 2 e z = 8 - x 2 - y 2 .

Passo 1

As duas superfícies dadas no enunciado são paraboloides. Mas perceba que a primeira superfície:

z = x 2 + 3 y 2

Tem abertura para cima (quando x e y aumentam, o z também aumenta). Já a segunda tem abertura para baixo:

z = 8 - x 2 - y 2

Vamos fazer um esboço dessas superfícies:

Beleza, nosso objetivo é calcular o volume entre essas superfícies. V

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Passo 2

As superfícies se encontram de forma bem confusa, vamos tentar encontrar isso algebricamente. Precisamos igualar as duas equações:

x 2 + 3 y 2 = 8 - x 2 - y 2

2 x 2 + 4 y 2 = 8

x 2 + 2 y 2 = 4

Isso que nós achamos é como se fosse uma “sombra” (no plano   x y ) da intersecção das duas superfícies! Dá uma olhada nesse desenho porque é importante que isso fique bem claro:

Essa elipse amarela está totalmente contida no plano x y , e é só a sombra da interseção entre as duas superfícies. A interseção em si é bem mais complicada e irregular do que isso.

Mas pra que precisamos dessa sombra? Isso é bem comum em questões desse tipo, porque todos os pontos do volume que queremos calcular estão “acima” dessa sombra. Essa região vai definir os limites de integração para o y e para o x !

Passo 3

Então tá, como achamos os limites do x e do y a partir dessa equação de elipse. Vamos desenhar ela no plano x y :

x 2 + 2 y 2 = 4

Achar os extremos do x é mais fácil, basta pegar os pontos em que y = 0 :

x 2 + 2 0 2 = 4

x 2 = 4

x = ± 2

Então nosso x vai variar nesse intervalo:

- 2 ≤ x ≤ + 2

E para cada um desses valores de x , como fica o y ? Ah, agora é só isolar na equação da elipse?

y 2 = 4 - x 2 2

E então nosso y varia nesse intervalo aqui:

- 4 - x 2 2 ≤ y ≤ 4 - x 2 2

Beleza, agora só falta descobrir como o z varia para cada um desses pares ( x , y ) !

Passo 4

Vamos olhar de novo para a imagem:

Nossa integral já está ali andando em toda a região imediatamente abaixo do volume que queremos calcular. Mas agora falta dizer pra ela o seguinte: qual é a “altura” que ela tem que calcular em cada ponto ( x , y ) !

Mas isso é tranquilo: como queremos o volume “entre” a superfície esverdeada e a superfície avermelhada, é só mandarmos a integral ir da “altura” (coordenada z ) de uma até a outra!

x 2 + 3 y 2 ≤ z ≤ 8 - x 2 - y 2

Agora já estamos prontos para substituir tudo na integral!

Passo 5

Juntando tudo o que calculamos, descobrimos que o volume pode ser calculado por essa integral aqui:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 2 4 - x 2 2 ∫ x 2 + 3 y 2 8 - x 2 - y 2 d z d y d x

Uma integral bastante feia, né? Mas é mais fácil do que parece! Começamos integrando em relação a z , como não tem nada na integral:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 2 4 - x 2 2 8 - x 2 - y 2 - x 2 + 3 y 2 d y d x

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 2 4 - x 2 2 8 - 2 x 2 - 4 y 2 d y d x

Agora vamos integrar isso em relação a y . Só pra não ficar confuso, vamos fazer a integral indefinida antes, e depois substituímos com os limites de integração:

∫ 8 - 2 x 2 - 4 y 2 d y = 8 y - 2 x 2 y - 4 y 3 3 + C = y 8 - 2 x 2 - 4 y 3 3 + C

Beleza? Agora nós vamos substituir aqueles limites nessa expressão:

∫ - 2 2 4 - x 2 2 8 - 2 x 2 - 4 4 - x 2 2 3 3 - - 4 - x 2 2 8 - 2 x 2 - 4 - 4 - x 2 2 3 3 d x

Bastante confuso! Mas agora vamos poder somar os termos:

∫ - 2 2 2 4 - x 2 2 8 - 2 x 2 - 8 3 4 - x 2 2 3 d x

Vamos colocar o 2 em evidência no 8 - 2 x 2 :

∫ - 2 2 2 4 - x 2 2 2 4 - x 2 - 8 3 4 - x 2 2 3 d x

E agora vamos multiplicar esse mesmo 8 - 2 x 2 por 2 / 2 , de forma que ele fique igual àquele termo que está na raiz!

∫ - 2 2 8 4 - x 2 2 4 - x 2 2   - 8 3 4 - x 2 2 3 d x

Ok, agora podemos juntar esses termos iguais, lembrando que uma raiz quadrada é o mesmo que um expoente 1 / 2 :

∫ - 2 2 8 4 - x 2 2 3 / 2   - 8 3 4 - x 2 2 3 / 2 d x = ∫ - 2 2 8 - 8 3 4 - x 2 2 3 / 2 d x

E agora resolvendo aquela diferença de frações:

∫ - 2 2 16 3 4 - x 2 3 / 2 2 3 / 2 d x = ∫ - 2 2 16 3 8 4 - x 2 3 / 2 d x

E agora chegamos em uma integral mais razoável:

16 3 8 ∫ - 2 2 4 - x 2 3 / 2 d x

O próximo passo é resolvê-la!

Passo 6

Nós conhecemos bem a cara dessa integral:

16 3 8 ∫ - 2 2 4 - x 2 3 / 2 d x

Ela está pedindo uma substituição trigonométrica! Lembre que quando temos um termo do tipo ( a 2 - x 2 ) , devemos usar a substituição x = a . sen ⁡ ( u ) , então:

x = 2 sen ⁡ ( u )

d x = 2 . cos ⁡ ( u )   d u

E vamos trocar também os limites de integração:

x = - 2               ⇒                 sen ⁡ u = - 2 2 = - 1           ⇒     u = - π / 2  

x = - 2               ⇒                 sen ⁡ u = 2 / 2   = 1           ⇒     u = π / 2

Jogando isso tudo na integral (vamos simplificar as constantes de uma vez):

4 2 3 ∫ 3 π / 2 π / 2 4 - 4 . sen 2 ⁡ u 3 2 ( 2 . cos ⁡ u   d u )

4 2 3 ∫ 3 π / 2 π / 2 4 1 - sen 2 ⁡ u 3 / 2 ( 2 . cos ⁡ u   d u )

4 2 3 ∫ 3 π / 2 π / 2 4 cos 2 ⁡ ( u ) 3 / 2 ( 2 . cos ⁡ u   d u )

Vamos tirar essas constantes:

4 2 3 ( 4 3 2 ) ( 2 ) ∫ 3 π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ ( u ) 3 / 2 ( cos ⁡ u   d u )

E agora podemos calcular essa constante em uma calculadora e juntar os cossenos:

64 2 3 ∫ 3 π / 2 π / 2 cos 4 ⁡ ( u )   d u

Agora sim, chegamos na última integral!

Passo 7

Para evitar uma grande confusão, vamos simplesmente calcular essa integral indefinida:

∫ cos 4 ⁡ ( x )   d x

E depois usamos esse resultado para calcular a integral que queremos. Lembra como se calcula a integral quando temos uma potência par do cosseno?

∫ cos 4 ⁡ ( x )   d x = ∫ cos 3 ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x )   d x

E agora aplicamos a integral por partes. A fórmula (que normalmente se usa) é essa aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando isso no nosso caso com u = cos 3 ⁡ ( x )   e   d v = cos ⁡ x d x , isso quer dizer que:

v = sen ⁡ ( x )

d u d x = d d cos ⁡ x cos 3 ⁡ x . d d x cos ⁡ x = - 3 . cos 2 ⁡ x . sen ⁡ ( x )

Então:

∫ cos 3 ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x )   d x = cos 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ x - ∫ - 3 . cos 2 ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x )   d u

E vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para resolver a integral da direita:

cos 2 ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) = 1 - c o s ⁡ ( 4 x ) 8

Assim:

∫ cos 4 ⁡ ( x )   d x = cos 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ x + 3 ∫ 1 8 - cos ⁡ 4 x 8   d u

Agora sim, sabemos resolver aquela integral da direita:

∫ cos 4 ⁡ ( x )   d x = cos 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ x + 3 x 8 - sen ⁡ 4 x 32

E finalmente:

∫ cos 4 ⁡ ( x )   d x = cos 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ x + 3 8 x - sen ⁡ 4 x 4 + C

Passo 8

Agora o último passo (prometo):

V = 64 2 3 ∫ 3 π / 2 π / 2 cos 4 ⁡ ( u )   d u

Já sabemos calcular essa integral, vamos só substituir os limites de integração e multiplicar pela constante:

V = 64 2 3 cos 3 ⁡ π 2 sin ⁡ π 2 + 3 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - cos 3 ⁡ - π 2 sin ⁡ - π 2 + 3 8 - π 2 - sen ⁡ - 2 π 4

Como o cos ⁡ ± π 2 é zero e sen ⁡ ( ± 2 π ) também:

V = 64 2 3 3 8 π 2 + 3 8 π 2 = 64 2 3 6 8 π 2

Então:

V = 8 π 2

Finalmente! Conseguimos!

Resposta

O volume da região é 8 π 2 .

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