Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 3: Seja D o quadrado no plano x y limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 0 e y = 1 . No espaço tridimensional, considere a pirâmide sólida P com vértice no ponto 0 ,   0 ,   2 cuja base é D . Calcule a integral tripla da função x em P .

Passo 1

Primeiramente, o que buscamos resolver aqui mesmo??? Queremos o resultado de uma integral tripla na pirâmide P :

∭ P   x d V

Beleza, mas quem é essa pirâmide? Para facilitar a resolução, o que acha de desenha-la comigo? ;)

Passo 2

Veja que a base dela é um quadrado que está entre as retas do problema: x = 0 , x = 1 , y = 0 e y = 1 ...

Um quadrado de lado 1 , neh?

Como o vértice da pirâmide está no ponto 0 ,   0 ,   2 , a eis que surge a pirâmide...

Passo 3

Para resolver uma integral em cima dessa pirâmide, vamos ter que descrever onde variam x ,   y e z dentro dela.

Veja que se a gente visualizar a pirâmide de baixo pra cima, z vai varia de 0 até o plano azul de um lado, e do outro ele varia até o plano vermelho. Isso seria um problema pra gente, pois teríamos que editar duas integrais !

Então por esse motivo, é conveniente ver o sólido de ladinho, onde o x   e   z variam na projeção da pirâmide no plano x z :

Enquanto que y varia de 0 até o plano vermelho, saca?

Passo 4

Vamos descrever então aqui a projeção primeiro:

Veja que o x varia de 0 até 1 ...

0 ≤ x ≤ 1

Enquanto que o z varia de 0 até a reta azul escuro...

0 ≤ z ≤ r e t a

Essa reta aí passa pelo ponto 0 ,   2   e pelo ponto 1 ,   0 . Como a equação de uma reta sempre pode ser dado por z = a x + b , basta encontrar a e b substituindo os pontos...

1 º   p o n t o     0 ,   2           →               2 = 0 a + b           o u           b = 2

1 º   p o n t o     1 ,   0           →               0 = a + 2           o u           a = - 2

Então a reta é z = - 2 x + 2 e a variação de z é...

0 ≤ z ≤ - 2 x + 2

Passo 5

Para descrever y então, veja que falar que y varia de 0 ao plano vermelho, é o mesmo falar que ele varia de 0 a reta vermelha...

Essa reta vermelha tem equação semelhante a equação da azul de cima, só que no lugar de x é o y ...

p o r   s e m e l h a n ç a     ⇒           z = - 2 y + 2

Isolando y ...

y = 2 - z 2

Logo...

0 ≤ y ≤ 2 - z 2

Passo 6

Voltando a integral que queremos resolver...

∭ P   x d V

E trocando os termos de P pelas variações...

∭ P   x d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - 2 x + 2 ∫ 0 2 - z 2 x   d y d z d x

Bora calcular então?

Passo 7

Calculando a integral de dentro considerando x como constante perante a variável de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 - 2 x + 2 ∫ 0 2 - z 2 x   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ 0 - 2 x + 2 x ∫ 0 2 - z 2   d y d z d x =

∫ 0 1 ∫ 0 - 2 x + 2 x 2 - z 2 d z d x =

Agora a do meio...

∫ 0 1 x ∫ 0 - 2 x + 2 1 - z 2   d z d x =

∫ 0 1 x z - z 2 4 0 - 2 x + 2 d x = ∫ 0 1 x - 2 x + 2 - - 2 x + 2 2 4 d x =

∫ 0 1 x - 2 x + 2 - x 2 - 2 x + 1 d x =

∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 x - x 3   d x =

Chegamos ao valor de...

x 2 2 - x 4 4 0 1 = 1 4

Resposta

1 4

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