Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 4: Seja E o sólido dado por

E = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   0 ≤ z ≤ 1 - y 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 1

  1. Esboce E .
  2. Calcule o volume de E .

Passo 1

Letra A)

Beleza, retirando as informações de superfícies das inequações do problema:

  0 ≤ z ≤ 1 - y 2   0 ≤ x ≤ 1 x ≤ y ≤ 1       →             z = 1 - y 2 x = 1 y = 1       e         z = 0 x = 0 y = x

Agora basta colocar da superfície dessas no espaço:

  1. Vamos começar com z = 1 - y 2 . Essa superfície é um cilindro de base parabólica paralela ao eixo x :
  2. y = x , no plano x y isso é a curva...
  3. No espaço, basta transladar para cima...

  4. x = 1 , y = 1 , z = 0 e x = 0 são todos planos:

E eis o sólido desenhado !

Passo 2

O volume de um sólido pode ser calculado dessa forma aqui:

V = ∭ E   1 d V

Onde deveríamos descrever o sólido E e voltar para a integral. Mas por que deveríamos e não temos que fazer isso aqui? Porque ele já está descrito de uma forma que basta substituir na integral !

E = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   0 ≤ z ≤ 1 - y 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 1

Temos o x variando entre números, o y variando entre funções de x e o z variando entre funções de y ...

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x

Bora calcular?

Passo 3

Calculando a integral de dentro...

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x     →

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 1 - y 2 d y d x     →

Agora a do meio...

V = ∫ 0 1 y - y 3 3 x 1 d x     →

V = ∫ 0 1 1 - 1 3 - x - x 3 3 d x     →

E a de fora, vamos obter...

V = ∫ 0 1 - x 1 2 + x 3 2 3 + 2 3 d x     →

V = - x 3 2 3 2 + x 5 2 3 ⋅ 5 2 + 2 3 x 0 1     →

V = - 1 3 2 + 1 3 ⋅ 5 2 + 2 3     →

V = - 2 3 + 2 15 + 2 3     →

V = 2 15

Resposta

Letra A)

Letra B)

2 15

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