Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Seja T a região do espaço definida pelas desigualdades:

T : 0 ≤ x ≤ 9 - y 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 ,   0 ≤ z ≤ 9 - x 2 + y 2

(a) Escreva

∭ T z x 2 + y 2 + z 2 d V

Como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos

Passo 1

Pode parecer que tá faltando alguma coisa aqui na questão, mas ele só quer mesmo que a gente monte a integral.

Geralmente quando a questão é assim ele o enunciado “descreve” com palavras o sólido. Aqui não, ele já nos deu os três limites de integração, só precisamos colocar na ordem certa.

Ué, como assim ordem certa?

Olha só como estão os limites

0 ≤ x ≤ 9 - y 2

  0 ≤ y ≤ 3

  0 ≤ z ≤ 9 - x 2 + y 2

Perceba que a gente não pode fazer essa integral aqui por exemplo

∫ 0 9 - y 2 ∫ 0 3 ∫ 0 1 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y x  

Porque a última integral daria um resultado em função de y , precisamos sempre ter a última integral baseada em números.

Sabemos então que a primeira integral vai ser essa ainda

∫ 0 3 ∫ ? ? ∫ ? ? z x 2 + y 2 + z 2 d ? d ? d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora veja que os limites de z estão em função de x e y , certo? Então é ele que a gente tem que integrar primeiro, se fizer ao contrário também vai sobrar alguma variável no resultado final.

Se você perceber, segue quase que uma “lógica”: primeiro a gente some com z da integral, depois com x e por fim sumimos com y , deixando a resposta um número.

Portanto

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ 0 9 - x 2 + y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ 0 9 - x 2 + y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

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