Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 949, adaptado.

Sendo E o sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante, com função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 , determine sua massa

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por ρ x , y , z . Nós sabemos que:

d m = ρ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região E em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ E   ρ x , y , z d V

M = ∭ E   ( x 2 + y 2 )   d x d y d z

Vamos fazer um esboço dessa região E :

Fazendo os cortes no primeiro octante, temos isso aqui:

Como x varia entre a equação dos planos x = 0 e x = y 3 e temos, no plano y z , uma projeção do sólido que representa um domínio D (um setor de círculo), vamos descrever essa região como tipo III.

W = x , y , z y , z ∈ D ;   0 ≤ x ≤ y 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A projeção do sólido no plano y z é esse setor aqui:

Com raio r = 3 , porque o cilindro possui raio 3 .

A melhor forma de descrever essa área, é por meio de coordenadas polares, fazendo:

y = r cos ⁡ θ  

z = r sen ⁡ θ

| J | = r

Teremos:

D = r , θ 0 ≤ θ ≤ π 2 ; 0 ≤ r ≤ 3

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos nas integrais iteradas. Como tivemos que fazer uma mudança de variáveis para descrever o domínio D , vamos escrevê-lo depois da primeira integração, para não gerar confusões. Temos:

M = ∭ E   ( x 2 + y 2 )   d x d y d z = ∬ D     ∫ 0 y / 3   ( x 2 + y 2 )   d x d A

Passo 4

Integrando em relação a x , temos:

= ∬ D     x 3 3 + x y 2 0 y / 3 d A =

= ∬ D   y 3 81 + y 3 3 d A =

= 28 81 ∬ D   y 3 d A =

Passo 5

Agora sim, vamos substituir os intervalos de D e fazer a substituição polar.

Você poderia ter feito isso antes, sem problemas. Optamos por fazer assim apenas por questão de organização.

= 28 81 ∫ 0 π / 2   ∫ 0 3   r 3 cos 3 ⁡ θ   r   d r d θ =

= 28 81 ∫ 0 π / 2   ∫ 0 3   cos 3 ⁡ θ   r 4   d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 28 81 × 5 ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ θ r 5 r = 0 r = 3 d θ =

= 84 5 ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ θ d θ =

Passo 7

Agora, nós fazemos o seguinte:

= 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ =

= 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 1 - sen 2 ⁡ θ d θ =

= 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ   d θ - 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ =

= - 84 5 - sen ⁡ θ 0 π / 2 - 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ =

= - 84 5 - 1 - - 0 - 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ =

= 84 5 - 84 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ =

Então, vamos a substituição

sen ⁡ θ = u

cos ⁡ θ   d θ = d u

θ = 0           →           u = 0

θ = π 2           →           u = 1

Aplicando na integral

= 84 5 - 84 5 ∫ 0 1 u 2 d u =

= 84 5 - 84 5 u 3 3 0 1 =

= 84 - 28 5 = 56 5

Resposta

56 5

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