Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. x 2 + y 2 = 1 , y ≥ 0 , y + z = 1 , z = 1 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, estamos trabalhando dentro de um cilindro, então... Nada mais justo que utilizamos as coordenadas cilíndricas, onde

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Não se esquecendo do Jacobiano

J = r

Agora, precisamos de encontrar onde essas novas variáveis aí estão variando. Bora? :D

Passo 3

Em relação à z ...

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

P l a n o   v e r m e l h o ≤ z ≤   P l a n o   V e r d e   →

P l a n o   v e r m e l h o ≤ z ≤ 1

o plano vermelho é z + y = 1 , então isolando o z →     z = 1 - y

1 - y ≤ z ≤ 1

trocando pelas coordenadas cilíndricas

1 - r sin ⁡ θ ≤ z ≤ 1

Quanto ao r e ao θ , bem, sabemos que eles variam no x e no y , então olhemos para a projeção do sólido no plano X Y !

Passo 4

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

O r está variando da origem, até o cilindro máximo que é o raio do cilindro azul...

0 ≤ r ≤ 1

Quanto ao θ , bem, ele está dando uma meia volta, portanto

0 ≤ θ ≤ π

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Substituindo as variações e trocando para coordenadas cilíndricas não se esquecendo de multiplicar pelo J a c o b i a n o ...

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r sin ⁡ θ 1 J d z d r d θ =

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r sin ⁡ θ 1 r   d z d r d θ

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ 0 π ∫ 0 1 r ∫ 1 - r sin ⁡ θ 1   d z d r d θ =

∫ 0 π ∫ 0 1 r 1 - 1 - r sin ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 π ∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 π r 3 3 sin ⁡ θ 0 1 d θ =

∫ 0 π 1 3 sin ⁡ θ d θ =

- 1 3 cos ⁡ θ 0 π = 1 3 + 1 3

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Resposta

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